Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;

фазовый поток — поток векторного поля [math]\displaystyle{ \vec A }[/math] — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов [math]\displaystyle{ \Gamma_t }[/math], определяемых дифференциальным уравнением [math]\displaystyle{ \vec A(\Gamma_t(x)) = d\Gamma_t(x)/dt }[/math].

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math]. По определению,

[math]\displaystyle{ {{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} }[/math] — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), [math]\displaystyle{ dS }[/math] — элемент поверхности.

В трёхмерном случае [math]\displaystyle{ \mathbf{X} = (x,y,z), \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \left( F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X}) \right) }[/math], а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

[math]\displaystyle{ d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS }[/math].

тогда поток записывается в виде

[math]\displaystyle{ {{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}} }[/math].

Размерность потока — это размерность величины [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примеры

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) }[/math]. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math], будет равен потоку векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math].

Если плотность равна [math]\displaystyle{ \rho }[/math], то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины [math]\displaystyle{ \rho\mathbf{v} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{dM}{dt} = {{\Phi }_{\rho\mathbf{v}}}=\iint\limits_{S}{\rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}} }[/math].

Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

[math]\displaystyle{ {{\Phi }_{D}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}}\quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \quad{{\Phi }_{B}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}} }[/math].

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

[math]\displaystyle{ \oint\limits_{S}{\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}} = Q\quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \quad\oint\limits_{S}{\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}} = 0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — электрический заряд, а поток вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

[math]\displaystyle{ I = \iint\limits_{S}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S} }[/math]

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] имеет структуру [math]\displaystyle{ \mathbf{F} = \rho_f\mathbf{v} }[/math], где [math]\displaystyle{ \rho_f }[/math] обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м³, заряда в Кл/м³, энергии в Дж/м³ и т.д.), а [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока [math]\displaystyle{ \mathbf{D} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math]), подобное название не имеет смысла.

См. также