Циркуляция векторного поля
Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению
- [math]\displaystyle{ C=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}}=\oint\limits_{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\{F_{x},F_{y},F_{z}\} }[/math] — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, [math]\displaystyle{ d\mathbf{l}=\{dx,dy,dz\} }[/math] — бесконечно малое приращение радиус-вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{l} }[/math] вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.
Свойства циркуляции
Аддитивность
Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть
- [math]\displaystyle{ C=\sum\limits_{i}{C_{i}}. }[/math]
Формула Стокса
Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf{F} }[/math] через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
- [math]\displaystyle{ \oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}d\mathbf{l}=\iint\limits_{S}{\operatorname{rot}}}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf{F}=[\nabla ,\mathbf{F}]=\left| \begin{matrix} \mathbf{e}_{x} & \mathbf{e}_{y} & \mathbf{e}_{z} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \\ \end{matrix} \right| }[/math] — ротор (вихрь) вектора F.
В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина
- [math]\displaystyle{ \oint\limits_{\Gamma}{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint\limits_{\Gamma^\circ}{\left( \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)dxdy}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Gamma^\circ }[/math] — плоскость, ограничиваемая контуром [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] (внутренность контура).
Физическая интерпретация
Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.
- [math]\displaystyle{ \forall \Gamma \subset D:\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}(\mathbf{r})d\mathbf{l}}=0\Leftrightarrow \forall \mathbf{r}\in D:\operatorname{rot}\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{0}. }[/math]
Историческая справка
Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину, равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу [math]\displaystyle{ u }[/math] на длину контура l:
- [math]\displaystyle{ C = ul, }[/math]
поскольку именно скорость [math]\displaystyle{ u }[/math] установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.
Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости [math]\displaystyle{ v_{\tau } }[/math]. Тогда циркуляцию можно представить в виде
- [math]\displaystyle{ C=\oint\limits_{\Gamma }{v_{\tau }dl}=\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{v}d\mathbf{l}}, }[/math]
где dl — элемент длины контура.
Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.
Литература
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
- Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.