Регулярное локальное кольцо

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] алгебраического многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math] является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{X, x} }[/math] ростков рациональных функций в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если [math]\displaystyle{ A }[/math] — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом [math]\displaystyle{ \mathfrak m }[/math], следующие определения эквивалентны:

  • Пусть [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n) }[/math] где [math]\displaystyle{ n }[/math] выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). [math]\displaystyle{ A }[/math] регулярно, если
[math]\displaystyle{ \mbox{dim } A = n. }[/math]
  • Пусть [math]\displaystyle{ k = A / \mathfrak{m} }[/math] — поле вычетов кольца [math]\displaystyle{ A }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ A }[/math] регулярно, если
[math]\displaystyle{ \dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A }[/math],
Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.
[math]\displaystyle{ \mbox{gl dim } A \lt \infty }[/math],
в этом случае [math]\displaystyle{ \mbox{gl dim } A }[/math] всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

  • Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
  • Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов [math]\displaystyle{ k[[x]] }[/math] (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
  • Более общо, кольцо формальных степенных рядов [math]\displaystyle{ k[[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{d}]] }[/math] — регулярное локальное кольцо размерности d.
  • Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов [math]\displaystyle{ A[x] }[/math] и кольцо формальных степенных рядов [math]\displaystyle{ A[[x]] }[/math] регулярны.
  • Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, [math]\displaystyle{ \mathbb Z[x]_{(2,x)} }[/math] — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
  • Пополнение[англ.] регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если [math]\displaystyle{ (A, \mathfrak{m}) }[/math] — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

[math]\displaystyle{ A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]] }[/math],

где [math]\displaystyle{ k = A / \mathfrak{m} }[/math], а [math]\displaystyle{ d }[/math] — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,[2][3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f1,…,fm. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂fi/∂xj)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Примечания

  1. ↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z.: 745–766 
  2. ↑ Zariski, Oscar (1940), Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0, Amer. J. Math. Т. 62: 187–221 
  3. ↑ Zariski, Oscar (1947), The concept of a simple point of an abstract algebraic variety, Trans. Amer. Math. Soc. Т. 62: 1–52 

Литература

  • Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000 — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Регулярное_локальное_кольцо&oldid=5836400