Дедекиндово кольцо

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.

Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятия

В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде [math]\displaystyle{ x^2+my^2 }[/math], довольно естественно разложить квадратичную форму на множители [math]\displaystyle{ (x+\sqrt{-m}y)(x-\sqrt{-m}y) }[/math], разложение происходит в кольце целых квадратичного поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{-m}) }[/math]. Сходным образом, для натурального [math]\displaystyle{ n }[/math] многочлен [math]\displaystyle{ z^n-y^n }[/math] (который возникает при решении уравнения Ферма [math]\displaystyle{ x^n+y^n = z^n }[/math]) можно разложить в кольце [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[\zeta_n] }[/math], где [math]\displaystyle{ \zeta_n }[/math] — примитивный [math]\displaystyle{ n }[/math]-й корень из единицы.

При малых значениях [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма ([math]\displaystyle{ m = 1, n = 4 }[/math]) и Эйлера ([math]\displaystyle{ m = 2,3, n = 3 }[/math]) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{D}) }[/math] на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай [math]\displaystyle{ D \lt 0 }[/math]: он нашел девять значений [math]\displaystyle{ D }[/math], удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых [math]\displaystyle{ p }[/math], таких что кольцо целых поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{p}) }[/math] — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо [math]\displaystyle{ R }[/math] является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определения

Для целостного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math], не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

• Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
• [math]\displaystyle{ R }[/math] нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
• Любой дробный идеал кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] обратим;
• [math]\displaystyle{ R }[/math] целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовал Н. Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо [math]\displaystyle{ R = \mathcal{O}_K }[/math] алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеалов

Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что [math]\displaystyle{ xI \subset R. }[/math]

Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм [math]\displaystyle{ \sum_n i_n j_n, \ i_n \in I, \ j_n \in J }[/math]: произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

[math]\displaystyle{ I^* = (R:I) = \{x \in K \ | \ xI \subset R\}. }[/math]

Очевидно, [math]\displaystyle{ I^*I \subset R }[/math]. Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — [math]\displaystyle{ I^* }[/math].

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида [math]\displaystyle{ xR }[/math] для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для [math]\displaystyle{ xR }[/math] — это просто [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}R }[/math]. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = [math]\displaystyle{ K^*/R^* }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ xR }[/math] и [math]\displaystyle{ yR }[/math] совпадают тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ xy^{-1} }[/math] — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцами

Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля [math]\displaystyle{ M }[/math] над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения [math]\displaystyle{ T }[/math] как множество таких элементов [math]\displaystyle{ m }[/math] кольца [math]\displaystyle{ M }[/math], что [math]\displaystyle{ rm = 0 }[/math] для некоторого ненулевого [math]\displaystyle{ r }[/math] из [math]\displaystyle{ R }[/math]. Тогда:

(1) [math]\displaystyle{ T }[/math] можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид [math]\displaystyle{ R/I }[/math] для некоторого ненулевого идеала [math]\displaystyle{ I }[/math] кольца [math]\displaystyle{ R }[/math]. По китайской теореме об остатках, каждый [math]\displaystyle{ R/I }[/math] можно разложить в прямую сумму модулей вида [math]\displaystyle{ R/P^i }[/math], где [math]\displaystyle{ P^i }[/math] — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля [math]\displaystyle{ T }[/math] единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль [math]\displaystyle{ P }[/math] модуля [math]\displaystyle{ M }[/math], такой что [math]\displaystyle{ M = T \oplus P }[/math].

(3) [math]\displaystyle{ P }[/math] изоморфен [math]\displaystyle{ R^n }[/math] для однозначно определённого неотрицательного целого [math]\displaystyle{ n }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ P }[/math] — конечнопорождённый свободный модуль.

Теперь пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3') [math]\displaystyle{ P }[/math] изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: [math]\displaystyle{ P \cong I_1 \oplus \cdots \oplus I_r }[/math]. Более того, для любых проективных модулей ранга 1 [math]\displaystyle{ I_1,\ldots,I_r,J_1,\ldots,J_s }[/math]

[math]\displaystyle{ I_1 \oplus \cdots \oplus I_r \cong J_1 \oplus \cdots \oplus J_s }[/math]

выполняется тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ r = s }[/math]

и

[math]\displaystyle{ I_1 \otimes \cdots \otimes I_r \cong J_1 \otimes \cdots \otimes J_s. }[/math]

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

[math]\displaystyle{ [I_1 \cdots I_r] = [J_1 \cdots J_s] \in Cl(R). }[/math]

Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга [math]\displaystyle{ n \gt 0 }[/math] без кручения можно записать в виде [math]\displaystyle{ R^{n-1} \oplus I }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — проективный модуль ранга 1. Класс Штайница модуля P над R — это класс [math]\displaystyle{ [I] }[/math] идеала [math]\displaystyle{ I }[/math] в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этого следует

Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда [math]\displaystyle{ K_0(R) \cong \mathbb{Z} \oplus Cl(R) }[/math], где K₀(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Claborn, Luther (1965), Dedekind domains and rings of quotients, Pacific J. Math. Т. 15: 59–64, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991>  Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group, Pacific J. Math. Т. 18: 219–222, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263>  Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited, L'Enseignement Mathematique Т. 55: 213–225, <http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf>  Архивная копия от 16 мая 2018 на Wayback Machine
• Fröhlich, A. & Taylor, M.J. (1991), II. Dedekind domains, Algebraic number theory, vol. 27, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, с. 35-101, ISBN 0-521-36664-X 
• Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains, Trans. Amer. Math. Soc. Т. 163: 493–500, DOI 10.2307/1995734 
• Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains, Proc. Amer. Math. Soc. Т. 57 (2): 197–201, DOI 10.2307/2041187 
• Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern, Math. Ann. Т. 71 (3): 328–354, DOI 10.1007/BF01456849