Лемма Нётер о нормализации
Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.
Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.
Формулировка
Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y 1, y 2, ..., y d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y 1, y 2, ..., y d ].
Замечания
- Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
- В случае если A является областью целостности, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.
Геометрическая интерпретация
За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb A^d_k }[/math], а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения [math]\displaystyle{ S\to A }[/math] индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий [math]\displaystyle{ X\to \mathbb A^d_k }[/math]. Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.
Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.
Литература
- Noether, Emmy (1926), Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 28–35, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=63971> Архивная копия от 8 марта 2013 на Wayback Machine
- Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.