Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] задана функция [math]\displaystyle{ f(M) = f(x, y, z) }[/math]. Рассмотрим разбиение [math]\displaystyle{ T }[/math] этой поверхности на части [math]\displaystyle{ \Phi_i\ (i = 1, \dots, n) }[/math] кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку [math]\displaystyle{ M_i(x_i, y_i, z_i) }[/math]. Вычислив значение функции в этой точке [math]\displaystyle{ f(M_i) = f(x_i, y_i, z_i) }[/math] и, приняв за [math]\displaystyle{ \sigma_i }[/math] площадь поверхности [math]\displaystyle{ \Phi_i }[/math], рассмотрим сумму

[math]\displaystyle{ I\{\Phi_i, M_i\} = \sum_i f(M_i)\sigma_i. }[/math]

Тогда число [math]\displaystyle{ I }[/math] называется пределом сумм [math]\displaystyle{ I\{\Phi_i, M_i\} }[/math], если

[math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall T : d(T) \lt \delta \ \forall \{M_i\}\ \bigl| I\{\Phi_i, M_i\} - I \bigr| \lt \varepsilon. }[/math]

Предел [math]\displaystyle{ I }[/math] сумм [math]\displaystyle{ I\{\Phi_i, M_i\} }[/math] при [math]\displaystyle{ d(T) \to 0 }[/math] называется поверхностным интегралом первого рода от функции [math]\displaystyle{ f(M) }[/math] по поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] и обозначается следующим образом:

[math]\displaystyle{ I = \iint \limits_\Phi f(M)\,d\sigma. }[/math]

Параметрическая форма

Пусть на поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] можно ввести единую параметризацию посредством функций

[math]\displaystyle{ x = x(u, v), \quad y = y(u, v), \quad z = z(u, v), }[/math]

заданных в ограниченной замкнутой области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] плоскости [math]\displaystyle{ (u, v) }[/math] и принадлежащих классу [math]\displaystyle{ C^1 }[/math] в этой области. Если функция [math]\displaystyle{ f(M) = f(x, y, z) }[/math] непрерывна на поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] существует и может быть вычислен по формуле

[math]\displaystyle{ I = \iint\limits_\Phi f(M)\,d\sigma = \iint\limits_\Omega f\big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big) \sqrt{EG - F^2} \,du \,dv, }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ E = (x_u')^2 + (y_u')^2 + (z_u')^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ F = x_u' x_v' + y_u' y_v' + z_u' z_v', }[/math]

[math]\displaystyle{ G = (x_v')^2 + (y_v')^2 + (z_v')^2. }[/math]

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] интегрируемы по областям [math]\displaystyle{ \Phi, \Phi_1, \Phi_2 }[/math]. Тогда:

Линейность: [math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi (\alpha f + \beta g)\,d\sigma = \alpha \iint\limits_\Phi f\,d\sigma + \beta \iint\limits_\Phi g\,d\sigma }[/math] для любых вещественных чисел [math]\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{R} }[/math].
Аддитивность: [math]\displaystyle{ \iint\limits_{\Phi_1} f\,d\sigma + \iint\limits_{\Phi_2} f\,d\sigma = \iint\limits_{\Phi_1 \cup \Phi_2} f\,d\sigma }[/math] при условии, что [math]\displaystyle{ \Phi_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \Phi_2 }[/math] не имеют общих внутренних точек.
Монотонность:
- если [math]\displaystyle{ f \geqslant g }[/math], то [math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi f\,d\sigma \geqslant \iint\limits_\Phi g\,d\sigma }[/math];
- для [math]\displaystyle{ f \geqslant 0 }[/math], если [math]\displaystyle{ \Phi_1 \subset \Phi_2 }[/math], то [math]\displaystyle{ \iint\limits_{\Phi_1} f\,d\sigma \lt \iint\limits_{\Phi_2} f\,d\sigma }[/math].
Теорема о среднем для непрерывной функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и замкнутой ограниченной поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math]:
[math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi f\,d\sigma = f(\xi) \iint\limits_\Phi d\sigma = f(\xi) \mu(\Phi) }[/math], где [math]\displaystyle{ \xi \in \Phi }[/math], а [math]\displaystyle{ \mu(\Phi) }[/math] — площадь области [math]\displaystyle{ \Phi }[/math].

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением [math]\displaystyle{ z = z(x, y) }[/math] причём точка [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] изменяется в области [math]\displaystyle{ (D) }[/math] на плоскости [math]\displaystyle{ xy }[/math], ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] определена некоторая функция [math]\displaystyle{ f(M) = f(x, y, z) }[/math]. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части [math]\displaystyle{ \Phi_i\ (i = 1, \dots, n) }[/math] и выбрав на каждой такой части точку [math]\displaystyle{ M_i(x_i, y_i, z_i) }[/math], вычислим значение функции [math]\displaystyle{ f(M_i) = f(x_i, y_i, z_i) }[/math] в данной точке и умножим его на площадь [math]\displaystyle{ D_i }[/math] проекции на плоскость [math]\displaystyle{ xy }[/math] элемента [math]\displaystyle{ \Phi_i }[/math], снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 1}^n f(M_i) D_i = \sum_{i = 1}^n f(x_i, y_i, z_i) D_i. }[/math]

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

[math]\displaystyle{ f(M)\,dx\,dy = f(x, y, z)\,dx\,dy, }[/math]

распространённым на выбранную сторону поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], и обозначают символом

[math]\displaystyle{ I = \iint\limits_\Phi f(M)\,dx\,dy = \iint\limits_\Phi f(x, y, z)\,dx\,dy }[/math]

(здесь [math]\displaystyle{ dx\,dy }[/math] напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость [math]\displaystyle{ xy }[/math]).

Если вместо плоскости [math]\displaystyle{ xy }[/math] спроектировать элементы поверхности на плоскость [math]\displaystyle{ yz }[/math] или [math]\displaystyle{ zx }[/math], то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

[math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi f(x, y, z)\,dy\,dz }[/math] или [math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi f(x, y, z)\,dz\,dx. }[/math]

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

[math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P, Q, R }[/math] суть функции от [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math], определённые в точках поверхности [math]\displaystyle{ \Phi }[/math].

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

[math]\displaystyle{ \iint\limits_{\Sigma+} f(x, y, z)\,dy\,dz = \iint\limits_\Sigma f(x, y ,z) \cos(\nu \wedge i)\,d\sigma, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nu }[/math] — единичный вектор нормали поверхности [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], [math]\displaystyle{ i }[/math] — орт.

Свойства

Линейность: [math]\displaystyle{ \iint\limits_\Phi(\alpha f + \beta g)\,dx\,dy = \alpha \iint\limits_\Phi f\,dx\,dy + \beta \iint\limits_\Phi g\,dx\,dy }[/math].
Аддитивность: [math]\displaystyle{ \iint\limits_{\Phi_1} f\,dx\,dy + \iint\limits_{\Phi_2} f\,dx\,dy = \iint\limits_{\Phi_1+\Phi_2} f\,dx\,dy }[/math].
При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

Литература

Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

Мир математических уравнений Архивная копия от 21 ноября 2019 на Wayback Machine.