Внутренность
Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.
Определение
Пусть дано топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}), }[/math] где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество [math]\displaystyle{ A \subset X }[/math].
Ниже рассматривается открытость подмножеств [math]\displaystyle{ B \subset A }[/math] как подмножеств всего [math]\displaystyle{ X }[/math] (например, [math]\displaystyle{ A }[/math] обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом [math]\displaystyle{ X }[/math] явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math].
Тогда внутренность множества [math]\displaystyle{ A }[/math] можно определить несколькими эквивалентными способами:
- Внутренность — объединение всех открытых подмножеств [math]\displaystyle{ B \subset A }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(A) = \bigcup\limits_{B \in \mathcal{T},\;B \subset A} B }[/math].
- Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math]:
- [math]\displaystyle{ (\operatorname{int}(A) \in \mathcal{T}) \wedge (\operatorname{int}(A) \subset A) \quad \wedge \quad \forall B \; ((B \in \mathcal{T}) \wedge (B\subset A) \Rightarrow (B \subset \operatorname{int}(A))) }[/math].
- Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество [math]\displaystyle{ B\subset A }[/math], такое что [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(A)=\left\{ x \in A : \exists B \subset A, x \in B, B \in \mathcal{T} \right\} }[/math].
Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.
Свойства
- Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math].
- Внутренность [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(A) }[/math] — открытое множество.
- Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
- [math]\displaystyle{ (A \in \mathcal{T}) \Leftrightarrow \left(A = A^0\right) }[/math].
- Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
- Операция внутренности идемпотентна:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(\operatorname{int}(A)) = \operatorname{int}(A) }[/math].
- Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:
- [math]\displaystyle{ (A \subset B) \Rightarrow \left( \operatorname{int}(A) \subset \operatorname{int}(B) \right) }[/math].
- В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — метрическое пространство с метрикой [math]\displaystyle{ d }[/math], и [math]\displaystyle{ M }[/math] — его подмножество. Точка [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] является внутренней для [math]\displaystyle{ M }[/math] тогда и только тогда, когда существует [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], такое что [math]\displaystyle{ \forall y\in X,\, d(x,y)\lt \varepsilon\Rightarrow y\in M }[/math]. Иначе говоря, [math]\displaystyle{ x }[/math] входит в [math]\displaystyle{ M }[/math] вместе с шаром радиуса [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] с центром в [math]\displaystyle{ x }[/math].
Примеры
- [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(\emptyset) = \emptyset. }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n }[/math] — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(A) = \emptyset }[/math].
- Если [math]\displaystyle{ X = \mathbb{R} }[/math] — вещественная прямая со стандартной топологией, и [math]\displaystyle{ [a,b] \subset \mathbb{R} }[/math], то [math]\displaystyle{ \operatorname{int}([a,b]) = (a,b). }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — дискретное пространство, то для любого [math]\displaystyle{ A \subset X }[/math] имеем [math]\displaystyle{ \operatorname{int}(A) = A }[/math].
Вариации
Относительная внутренность
Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.
Квазотносительная внутренность
Алгебраическая внутренность
Литература
- Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.