Планковская угловая частота
В физике, планковская угловая частота это единица угловой частоты, обозначаемая как [math]\displaystyle{ \omega_{\text{P}} }[/math], определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы.
Планковская угловая частота определяется как величина обратная планковскому времени[источник не указан 2605 дней] [math]\displaystyle{ t_{\text{P}} }[/math]. С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется[1]:
- [math]\displaystyle{ t_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5,39116(13) \cdot 10^{-44} }[/math] c,
- [math]\displaystyle{ \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \approx 1,85487\cdot 10^{43} }[/math] c-1,
где:
- [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света в вакууме,
- [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]),
- [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная,
- [math]\displaystyle{ t_{\text{P}} }[/math] — планковское время.
Некоторые свойства планковской угловой частоты
Колебания и волны
- Обычная частота, соответствующая планковской угловой частоте: [math]\displaystyle{ f = \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi t_{\text{P}}} = \sqrt{\frac{c^5}{4 \pi^2 \hbar G}} = \sqrt{\frac{c^5}{2 \pi h G}} = \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx }[/math] 2,95212 ⋅1042 Гц,
- где [math]\displaystyle{ \ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ \epsilon_G = \frac{1}{4\pi G} }[/math] — гравитационная электро-подобная константа[2], [math]\displaystyle{ \varkappa={8 \pi G \over c^4} }[/math] — гравитационная постоянная Эйнштейна[3].
- Период, соответствующий планковской угловой частоте, равен [math]\displaystyle{ 2 \pi t_{\text{P}} }[/math], то есть планковскому времени, умноженному на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math].
- Фаза:
- Фаза колебаний, угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время.
- Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах.
- Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах lP, а t в единицах tP.
- Изменение фазы гармонического колебания за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ωP.
Вращение
- При равномерном вращении или движении по окружности изменение угла поворота за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ωP.
- При вращении или движении по окружности с угловой скоростью, равной планковской угловой частоте, угол поворота изменяется на 1 рад за планковское время.
- Угловая скорость точки, равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом lP, равна ωP.
Сигналы
- Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна [math]\displaystyle{ \omega_{\text{P}} }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ f_c\; \leq \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} }[/math][4]), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации, большей или равной [math]\displaystyle{ 2 \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 4 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx }[/math] 5,90424 ⋅1042 Гц.
Электромагнитные колебания
- Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине, умноженной на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math].
- Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии.
- Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени, умноженному на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] и делённому на 360, то есть [math]\displaystyle{ \frac{2 \pi t_{\text{P}}}{360} }[/math] ≈ 9,40917⋅10−46 с.
Зрение
- Монохроматический зелёный свет с частотой 540⋅1012 Гц, о котором говорится в определении канделы, имеет угловую частоту 1,829195613 ⋅10-28 ωP.
Музыка
- Самый низкий звук, воспринимаемый человеческим ухом (16 Гц), имеет угловую частоту примерно 5,419839 ⋅10-42 ωP. Самый высокий (20000 Гц) — около 6,77480 ⋅10-39 ωP. Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 ⋅10-42 ωP до 6,77480 ⋅10-39 ωP.
- Угловая частота эталонного тона «ля» 1-й октавы в 12-звуковом строе (440 Гц) примерно равна 1,49046 ⋅10-40 ωP. Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 ⋅10-40*[math]\displaystyle{ \cdot 2^{i/12} }[/math] ωP, где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону[5]. В частности,
- Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано (ля субконтроктавы, 27,5 Гц) — примерно 9,315348⋅10-42 ωP; самой высокой (до 5-й октавы, 4186,0 Гц[5]) — около 1,417968 ⋅10-39 ωP.
- Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до-диез (или ре-бемоль) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя.
Примечания
- ↑ CODATA Value: Planck Time Архивная копия от 1 июля 2017 на Wayback Machine — The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty.
- ↑ см. статью Большие числа Дирака#Популярные значения чисел Дирака
- ↑ см. статью Общая теория относительности#Уравнения Эйнштейна
- ↑ Здесь, как и в статье Теорема Котельникова, под [math]\displaystyle{ f_c\; }[/math] понимается максимальная частота в спектре сигнала.
- ↑ 5,0 5,1 Это непосредственно следует из формулы для расчёта частот, соответствующих ступеням звукоряда (исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц):[math]\displaystyle{ f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} }[/math], где f0 — частота камертона, а i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону f0.