Планковская угловая частота

В физике, планковская угловая частота это единица угловой частоты, обозначаемая как [math]\displaystyle{ \omega_{\text{P}} }[/math], определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы.

Планковская угловая частота определяется как величина обратная планковскому времени [math]\displaystyle{ t_{\text{P}} }[/math]. С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется:

[math]\displaystyle{ t_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5,39116(13) \cdot 10^{-44} }[/math] c,

[math]\displaystyle{ \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \approx 1,85487\cdot 10^{43} }[/math] c^-1,

где:

[math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света в вакууме,

[math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]),

[math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная,

[math]\displaystyle{ t_{\text{P}} }[/math] — планковское время.

Некоторые свойства планковской угловой частоты

Колебания и волны

• Обычная частота, соответствующая планковской угловой частоте: [math]\displaystyle{ f = \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi t_{\text{P}}} = \sqrt{\frac{c^5}{4 \pi^2 \hbar G}} = \sqrt{\frac{c^5}{2 \pi h G}} = \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx }[/math] 2,95212 ⋅10⁴² Гц,

где [math]\displaystyle{ \ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ \epsilon_G = \frac{1}{4\pi G} }[/math] — гравитационная электро-подобная константа, [math]\displaystyle{ \varkappa={8 \pi G \over c^4} }[/math] — гравитационная постоянная Эйнштейна.

• Период, соответствующий планковской угловой частоте, равен [math]\displaystyle{ 2 \pi t_{\text{P}} }[/math], то есть планковскому времени, умноженному на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math].
• Фаза:
  • Фаза колебаний, угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время.
  • Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах.
  • Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах l_P, а t в единицах t_P.
  • Изменение фазы гармонического колебания за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ω_P.

Вращение

• При равномерном вращении или движении по окружности изменение угла поворота за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ω_P.
• При вращении или движении по окружности с угловой скоростью, равной планковской угловой частоте, угол поворота изменяется на 1 рад за планковское время.
• Угловая скорость точки, равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом l_P, равна ω_P.

Сигналы

• Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна [math]\displaystyle{ \omega_{\text{P}} }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ f_c\; \leq \frac{\omega_{\text{P}}}{2 \pi} = 2 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} }[/math]), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации, большей или равной [math]\displaystyle{ 2 \sqrt{\frac{2 \epsilon_G c^5}{h}} = 4 \sqrt{\frac{c}{\varkappa h}} \approx }[/math] 5,90424 ⋅10⁴² Гц.

Электромагнитные колебания

• Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине, умноженной на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math].
• Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии.
• Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени, умноженному на [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] и делённому на 360, то есть [math]\displaystyle{ \frac{2 \pi t_{\text{P}}}{360} }[/math] ≈ 9,40917⋅10⁻⁴⁶ с.

Зрение

• Монохроматический зелёный свет с частотой 540⋅10¹² Гц, о котором говорится в определении канделы, имеет угловую частоту 1,829195613 ⋅10^-28 ω_P.

Музыка

• Самый низкий звук, воспринимаемый человеческим ухом (16 Гц), имеет угловую частоту примерно 5,419839 ⋅10^-42 ω_P. Самый высокий (20000 Гц) — около 6,77480 ⋅10^-39 ω_P. Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 ⋅10^-42 ω_P до 6,77480 ⋅10^-39 ω_P.
• Угловая частота эталонного тона «ля» 1-й октавы в 12-звуковом строе (440 Гц) примерно равна 1,49046 ⋅10^-40 ω_P. Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 ⋅10^-40*[math]\displaystyle{ \cdot 2^{i/12} }[/math] ω_P, где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону. В частности,
  • Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано (ля субконтроктавы, 27,5 Гц) — примерно 9,315348⋅10^-42 ω_P; самой высокой (до 5-й октавы, 4186,0 Гц) — около 1,417968 ⋅10^-39 ω_P.
  • Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до-диез (или ре-бемоль) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя.