Электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке — плоскополяризованная волна, распространяющаяся слева направо. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля — в горизонтальной.

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости [math]\displaystyle{ E }[/math] и индукции [math]\displaystyle{ B }[/math] электромагнитного поля.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда [math]\displaystyle{ q }[/math], тока [math]\displaystyle{ I }[/math] или напряжения [math]\displaystyle{ U }[/math] называют электрическими колебаниями. Синусоидальный переменный электрический ток является одним из видов вынужденных электрических колебаний.

Вывод формулы

Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \qquad(1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}, \qquad(2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \qquad(3) }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}, \qquad(4) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \nabla }[/math] — векторный дифференциальный оператор набла.

Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение

[math]\displaystyle{ \mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}. }[/math]

Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:

[math]\displaystyle{ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{A} \right) - \nabla^2 \mathbf{A}. }[/math]

Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):

[math]\displaystyle{ \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right). \quad(5) }[/math]

Левая часть (5) эквивалентна:

[math]\displaystyle{ \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{E} \right) - \nabla^2 \mathbf{E} = - \nabla^2 \mathbf{E}, \qquad(6) }[/math]

где мы упрощаем, используя уравнение (1).

Правая часть эквивалентна:

[math]\displaystyle{ \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E}. \qquad(7) }[/math]

Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно

[math]\displaystyle{ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E}, }[/math]

Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:

[math]\displaystyle{ \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{B}. }[/math]

Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:

[math]\displaystyle{ \nabla^2 f = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ c_0 }[/math] — скорость волны в вакууме, [math]\displaystyle{ f }[/math] — описывает смещение.

Или

[math]\displaystyle{ \Box f = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Box }[/math] — оператор Д’Аламбера:

[math]\displaystyle{ \Box = \nabla^2 - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}. }[/math]

Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость.:

[math]\displaystyle{ c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}, }[/math]

которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math], магнитную проницаемость вакуума [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math]  и непосредственно скорость света [math]\displaystyle{ c_0 }[/math]. До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.

Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} = \mathbf{E}_0 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \mathbf{E}_0 }[/math] — постоянная амплитуда колебаний, [math]\displaystyle{ f }[/math] — любая мгновенная дифференцируемая функция, [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{k}} }[/math] — единичный вектор в направлении распространения, а [math]\displaystyle{ {\mathbf{x}} }[/math] - радиус-вектор. Мы замечаем, что [math]\displaystyle{ f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) }[/math] — общее решение волнового уравнения. Другими словами

[math]\displaystyle{ \nabla^2 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial^2 t} f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right), }[/math]

для типичной волны, распространяющейся в [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{k}} }[/math] направлении.

Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{k}} = 0. }[/math]

Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.

[math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0|\mathbf{k}| t \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{B} = \frac{1}{c_0} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}. }[/math]

Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором [math]\displaystyle{ \mathbf{E},\mathbf{B} }[/math].

Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, [math]\displaystyle{ E_0 = c_0 B_0 }[/math], которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{E} \times \mathbf{B} }[/math].

С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.

См. также

• Электромагнитное излучение
• Уравнения Максвелла
• Вибратор Герца
• Колебательный контур

Литература

• Баумгарт К. К.,. Электрические колебания // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.