Дзета-функция Гурвица

Для термина «Гурвиц» см. также другие значения.

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

[math]\displaystyle{ \zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}. }[/math]

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжение

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

[math]\displaystyle{ \lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q) }[/math],

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядов

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе

[math]\displaystyle{ \zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}. }[/math]

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для [math]\displaystyle{ q^{1-s} }[/math], то есть:

[math]\displaystyle{ \Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s} }[/math]

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

[math]\displaystyle{ \zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}. }[/math]

Интегральные представления

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:

[math]\displaystyle{ \zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt }[/math]

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула Гурвица

[math]\displaystyle{ \zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right] }[/math],

где

[math]\displaystyle{ \beta(x;s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix}) }[/math].

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь [math]\displaystyle{ \text{Li}_s (z) }[/math] — это полилогарифм.

Функциональное уравнение

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

[math]\displaystyle{ \zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \left[cos \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right] }[/math]

верно для всех значений s.

Ряд Тейлора

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

[math]\displaystyle{ \frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q). }[/math]

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

[math]\displaystyle{ \zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} \frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x). }[/math]

Ряд Лорана

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения констант Стильтьеса, которые появляются в разложении:

[math]\displaystyle{ \zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n. }[/math]

Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра

Связь с многочленами Бернулли

Определённая выше функция [math]\displaystyle{ \beta(x;n) }[/math] обобщает многочлены Бернулли:

[math]\displaystyle{ B_n(x) = -Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right] }[/math].

С другой стороны,

[math]\displaystyle{ \zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}. }[/math]

В частности, при [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x. }[/math]

Связь с тета-функцией Якоби

Если [math]\displaystyle{ \vartheta (z,\tau) }[/math] — это тета-функция Якоби, тогда

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= \pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right] }[/math].

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s) }[/math].

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией Дирихле

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

[math]\displaystyle{ \zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi), }[/math]

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

[math]\displaystyle{ L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right). }[/math]

в частности верно следующее представление:

[math]\displaystyle{ k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right), }[/math]

обобщающее

[math]\displaystyle{ \sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa). }[/math] (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументов

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов. В частности, для многочленов Эйлера [math]\displaystyle{ E_n(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q} }[/math],

Кроме того

[math]\displaystyle{ \zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right] }[/math],

верное для [math]\displaystyle{ 1\le p \le q }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ C_\nu(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ S_\nu(x) }[/math] выражаются через хи-функциию Лежандра [math]\displaystyle{ \chi_\nu }[/math] как

[math]\displaystyle{ C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix}) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}). }[/math]

Приложения

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера, дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица связана с полигамма-функцией:

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z). }[/math]

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

[math]\displaystyle{ \Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s} }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ \zeta (s,q)=\Phi(1, s, q). }[/math]

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201—206.
• Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
• Istvan Mezo and Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function (недоступная ссылка), Journal of Number Theory, (2010) 130, 2, 360—369.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.