Гипотеза Фирузбэхт

Функция промежутков между простыми числами

Гипотеза Фирузбэхт — это гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фариды Фирузбэхт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Утверждение гипотезы

Гипотеза утверждает, что [math]\displaystyle{ p_n^{1/n} }[/math] (где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] — n-е простое число) является строго убывающей функцией от n, т. е.

[math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{p_{n+1}} \lt \sqrt[n]{p_n} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \geqslant 1. }[/math]

Эквивалентно:

[math]\displaystyle{ p_{n+1} \lt p_n^{1+\frac{1}{n}} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \geqslant 1, }[/math]

см. последовательности A182134, A246782.

Подтверждение гипотезы

Используя таблицу максимальных интервалов, Фарида Фирузбэхт проверила свою гипотезу до 4,444⋅10¹². С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до [math]\displaystyle{ 10^{19} }[/math].

Связь с другими гипотезами

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами [math]\displaystyle{ g_n = p_{n+1} - p_n }[/math] должна удовлетворять неравенству

[math]\displaystyle{ g_n \lt (\log p_n)^2 - \log p_n }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \gt 4. }[/math]

Более того,

[math]\displaystyle{ g_n \lt (\log p_n)^2 - \log p_n - 1 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \gt 9, }[/math]

см. также последовательность A111943. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и Шенкса. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца и Майера, в которой предполагается, что

[math]\displaystyle{ g_n \gt \frac{2 - \varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 }[/math]

встречается бесконечно много раз для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0, }[/math] где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности A182514)

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)^n \lt e, }[/math]

которая несколько слабее, и

[math]\displaystyle{ \left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)^n \lt n \log n }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \gt 5, }[/math]

которая сильнее.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел

Ссылки

• Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition (англ.). — Birkhauser, 1985. — ISBN 3-7643-3291-3.