Гипотеза Диксона

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм [math]\displaystyle{ a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k }[/math] при [math]\displaystyle{ a_j\geqslant 1 }[/math], имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий [math]\displaystyle{ a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k }[/math] с целыми [math]\displaystyle{ a_j,b_j }[/math], причем [math]\displaystyle{ a_j\geqslant 1 }[/math]. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел [math]\displaystyle{ a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k }[/math] являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число [math]\displaystyle{ a_jn+b_j }[/math] кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение [math]\displaystyle{ (a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p }[/math]. В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий [math]\displaystyle{ n, 2n }[/math] всегда [math]\displaystyle{ 2\mid 2n }[/math], а для 2-х других прогрессий [math]\displaystyle{ n,n+3 }[/math] при четных n [math]\displaystyle{ 2\mid n }[/math], а при нечетных — [math]\displaystyle{ 2\mid n+3 }[/math], так что в парах прогрессий [math]\displaystyle{ n, 2n }[/math] и [math]\displaystyle{ n,n+3 }[/math] число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа [math]\displaystyle{ 2,3,5,... }[/math], но и отрицательные числа [math]\displaystyle{ -2,-3,-5,... }[/math] (каковые действительно являются простыми элементами в кольце [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий [math]\displaystyle{ a_jn+b_j }[/math] и значит условие [math]\displaystyle{ a_j\geqslant 1 }[/math] можно ослабить до [math]\displaystyle{ a_j\neq 0 }[/math], а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе [math]\displaystyle{ a_jn+b_j }[/math] — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи

Случай [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] уже доказан — это теорема Дирихле.
Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида [math]\displaystyle{ n, n+2t }[/math], t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар [math]\displaystyle{ (n, n+2) }[/math], [math]\displaystyle{ (n, n+4) }[/math], [math]\displaystyle{ (n, n+6) }[/math] и т. п.).
Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n [math]\displaystyle{ p\mid (n+b_1)(n+b_2)...(n+b_k) }[/math], то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары [math]\displaystyle{ (n, n+2) }[/math], тройки [math]\displaystyle{ (n, n+2, n+6) }[/math], четверки [math]\displaystyle{ (n, n+2, n+6, n+8) }[/math] и т. д.)
В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы

Пусть [math]\displaystyle{ w(p) }[/math] — число решений сравнения [math]\displaystyle{ (a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p }[/math]. Согласно предположению гипотезы, [math]\displaystyle{ w(p)\lt p }[/math] и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа [math]\displaystyle{ a_jn+b+j }[/math] простые, оценивается величиной

[math]\displaystyle{ \prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln ^k t}, }[/math]

здесь произведение берется по всем простым числам p, а [math]\displaystyle{ \ln }[/math] — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна [math]\displaystyle{ \prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\frac{x}{\ln ^k x}, }[/math] но 1-е выражение должно быть точнее. При [math]\displaystyle{ k=1 }[/math], нетрудно проверить, коэффициент будет равен [math]\displaystyle{ \frac{1}{\varphi(a_1)} }[/math], что соответствует теореме Дирихле (здесь [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — функция Эйлера).

Обобщения

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также

Ссылки

Dickson, L. E. (1904), A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers, Messenger of mathematics Т. 33: 155–161, <https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155> Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94457-9, <https://books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC> Архивная копия от 23 июня 2016 на Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Архивная копия от 23 октября 2012 на Wayback Machine