Гипотеза Андрицы

(а) Функция [math]\displaystyle{ A_n }[/math] для первых 100 простых.

(б) Функция [math]\displaystyle{ A_n }[/math] для первых 200 простых.

(в) Функция [math]\displaystyle{ A_n }[/math] для первых 500 простых.

Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция [math]\displaystyle{ A_n }[/math] всегда меньше 1.

Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство:

[math]\displaystyle{ \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} \lt 1 }[/math]

выполняется для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] является [math]\displaystyle{ n }[/math]-м простым числом. Если [math]\displaystyle{ g_n = p_{n+1} - p_n }[/math] означает [math]\displaystyle{ n }[/math]-й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как:

[math]\displaystyle{ g_n \lt 2\sqrt{p_n} + 1 }[/math].

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году.

Эмпирическое подтверждение

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до [math]\displaystyle{ 1{,}3002 \times 10^{16} }[/math]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до [math]\displaystyle{ 4 \times 10^{18} }[/math].

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции [math]\displaystyle{ A_n = \sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n} }[/math] (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] со значением [math]\displaystyle{ A_4 \approx 0{,}670873\dots }[/math], и бóльших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания [math]\displaystyle{ n }[/math], гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

[math]\displaystyle{ p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x = 1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-ое простое, а [math]\displaystyle{ x }[/math] может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по [math]\displaystyle{ x }[/math] находится при [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], когда [math]\displaystyle{ x_\max = 1 }[/math]. Есть гипотеза, что наименьшее значение [math]\displaystyle{ x }[/math] равно [math]\displaystyle{ x_\min \approx 0{,}567148\dots }[/math], которое находится при  [math]\displaystyle{ n=30 }[/math].

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

[math]\displaystyle{ p _ {n+1} ^ x - p_ n ^ x \lt 1 }[/math] для [math]\displaystyle{ x \lt x_{\min} }[/math].

См. также

• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхт

Литература

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938.
• Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9.

Ссылки

• Andrica’s Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture Архивная копия от 27 декабря 2019 на Wayback Machine at PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.