Гипотеза Брокара

Не следует путать с Задачей Брокара.

Гипо́теза Брока́ра — в теории чисел гипотеза о квадратах простых чисел, сформулированная Брокаром.

Формулировка

Формулировка:

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности [math]\displaystyle{ \pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2) }[/math], кроме первого, не меньше 4, где [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] — количество простых чисел, меньших [math]\displaystyle{ x }[/math].

n	[math]\displaystyle{ p_n }[/math]	[math]\displaystyle{ p_n^2 }[/math]	Простые числа	[math]\displaystyle{ \Delta }[/math]
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] обозначает [math]\displaystyle{ \pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2) }[/math].

На начало 2020 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность последовательность A050216 в OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Гипотеза Лежандра

Схожая и тоже недоказанная Гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что

Между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция [math]\displaystyle{ \pi(n^2) }[/math] строго возрастает с ростом [math]\displaystyle{ n }[/math].