Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math] (количество простых чисел на отрезке [math]\displaystyle{ [1;n] }[/math]) растёт с увеличением [math]\displaystyle{ n }[/math] как [math]\displaystyle{ \frac{n}{\ln n} }[/math], то есть:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1 }[/math], когда [math]\displaystyle{ n\to \infty. }[/math]

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до [math]\displaystyle{ n }[/math] вероятность оказаться простым примерно равна [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln n} }[/math].

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения [math]\displaystyle{ k }[/math]-го простого числа [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: она утверждает, что

[math]\displaystyle{ p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty }[/math]

(здесь и далее запись [math]\displaystyle{ f\sim g }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ f/g \to 1 }[/math] когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно

[math]\displaystyle{ \pi(n)=\operatorname{Li}(n)+O(\sqrt{n}\ln n) }[/math] при [math]\displaystyle{ x\rightarrow\infty. }[/math]

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму». К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

[math]\displaystyle{ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B} }[/math]

где [math]\displaystyle{ B \approx 1{,}08366. }[/math] Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx }[/math]

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ x / \ln(x) }[/math], указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает, что верхний M и нижний m пределы отношения

[math]\displaystyle{ \frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad }[/math]

(1)

заключены в пределах [math]\displaystyle{ 0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555 }[/math], а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

[math]\displaystyle{ \psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p, \qquad \qquad (*) }[/math]

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

[math]\displaystyle{ \psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} }[/math]

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

[math]\displaystyle{ \psi(x)\sim x, \quad x\to \infty. }[/math]

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка [math]\displaystyle{ [1,n] }[/math], а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы [math]\displaystyle{ \ln p }[/math] примерно равны [math]\displaystyle{ \ln x }[/math], и функция [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] асимптотически ведёт себя так же, как [math]\displaystyle{ \pi(x) \cdot \ln x }[/math].

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

[math]\displaystyle{ \zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}, }[/math]

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

[math]\displaystyle{ \sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}. }[/math]

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции [math]\displaystyle{ a^s/s }[/math] равен [math]\displaystyle{ 2\pi i }[/math] при [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] и 0 при [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math]. Поэтому, умножение правой и левой части на [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} x^s/s }[/math] и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по [math]\displaystyle{ ds }[/math] оставляет в левой части в точности сумму [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math] с [math]\displaystyle{ n\leqslant x }[/math]. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке [math]\displaystyle{ s=1 }[/math] — полюс первого порядка с вычетом, равным [math]\displaystyle{ (-1) }[/math].

Строгая реализация этой программы позволяет получить явную формула Римана:

[math]\displaystyle{ \psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0\lt \operatorname{Re}(\rho)\lt 1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**) }[/math]

Суммирование тут ведётся по нулям [math]\displaystyle{ \rho }[/math] дзета-функции, лежащим в критической полосе [math]\displaystyle{ 0\lt \operatorname{Re}(s)\lt 1 }[/math], слагаемое [math]\displaystyle{ -\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} }[/math] отвечает полюсу [math]\displaystyle{ \frac{x^s}{s} }[/math] в нуле, а слагаемое [math]\displaystyle{ -\log(1-x^{-2})/2 }[/math] — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции [math]\displaystyle{ s=-2,-4,-6,\dots }[/math].

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение [math]\displaystyle{ \psi(x)\sim x }[/math] (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем [math]\displaystyle{ x }[/math]). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] от [math]\displaystyle{ x }[/math], и, соответственно, на отклонения [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] от [math]\displaystyle{ x/\ln x }[/math].

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

[math]\displaystyle{ \ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p }[/math]

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

[math]\displaystyle{ \ln = \Lambda * \mathbf{1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \ln }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{1} }[/math] — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести [math]\displaystyle{ \mathbf{1} }[/math] в правую часть:

[math]\displaystyle{ \Lambda= {\ln} * \mu, \qquad \qquad (**) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция [math]\displaystyle{ \psi }[/math]. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме [math]\displaystyle{ \sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k), }[/math] где [math]\displaystyle{ L }[/math] — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать [math]\displaystyle{ L(n) }[/math] как

[math]\displaystyle{ L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид [math]\displaystyle{ \sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right) }[/math] для подходящим образом подобранной функции F (а именно, [math]\displaystyle{ F(x)=x-\gamma-1 }[/math]), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

[math]\displaystyle{ \Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k). }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ F(x)\sim x, }[/math] остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид [math]\displaystyle{ o(x) }[/math]. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения [math]\displaystyle{ M(x)=o(x), }[/math] где [math]\displaystyle{ M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n) }[/math] — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции [math]\displaystyle{ 1/n }[/math].

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

[math]\displaystyle{ \mu'=-\mu*\Lambda, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f'(n)=f(n)\cdot \ln n }[/math] — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

[math]\displaystyle{ \mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda'). }[/math]

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции [math]\displaystyle{ \Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda }[/math] оценивается лучше асимптотики сумм [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], позволяет оценивать отношение [math]\displaystyle{ \frac{M(x)}{x} }[/math] через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку [math]\displaystyle{ M(x)=o(x) }[/math].

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

Литература

Классические труды

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.