Гипотеза Крамера

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что

[math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\ }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] обозначает nпростое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = 1. }[/math]

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln x} }[/math]. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1[1].

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

[math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n) }[/math]

предполагая истинной гипотезу Римана[1].

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty. }[/math]

Гипотеза Крамера — Гранвилла

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] между простыми, не превышающими [math]\displaystyle{ x }[/math]. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:[3]

[math]\displaystyle{ G(x) \sim \ln^2 x. }[/math]

В вероятностной модели

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c, }[/math] при этом [math]\displaystyle{ c = 1. }[/math]

Но константа [math]\displaystyle{ c }[/math] возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа [math]\displaystyle{ c = 2e^{-\gamma} \approx 1{,}1229\ldots }[/math][4], где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — постоянная Эйлера.

М. Вольф[5] предложил формулу для максимального расстояния [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] между последовательными простыми числами меньшими [math]\displaystyle{ x }[/math]. Формула Вольфа выражает [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] через функцию распределения простых чисел [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ G(x) \sim \frac{x}{\pi(x)}(2\ln \pi(x) - \ln x + c_0), }[/math]

где [math]\displaystyle{ c_0 = \ln C_2 = 0{,}2778769\dots }[/math], а [math]\displaystyle{ C_2 = 1{,}3203236\dots }[/math] есть удвоенная константа простых-близнецов.

Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми.[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

[math]\displaystyle{ R = \frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1} - p_n}}. }[/math]

Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

См. также

Ссылки

Примечания

  1. 1,0 1,1 1,2 Cramér, Harald (1936), On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arithmetica Т. 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf>  Архивная копия от 23 июля 2018 на Wayback Machine.
  2. Westzynthius, Erik (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors Т. 5: 1-37 .
  3. Shanks, Daniel (1964). «On Maximal Gaps between Successive Primes». Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646–651. doi:10.2307/2002951.
  4. Granville, Andrew (1995). «Harald Cramér and the distribution of prime numbers». Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28.
  5. Wolf, Marek (2014). «Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos». Phys. Rev. E 89: 022922.
  6. Nicely, Thomas R. (1999). «New maximal prime gaps and first occurrences». Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315. doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0.