Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, утверждающая, что

[math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\ }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = 1. }[/math]

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln x} }[/math]. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

[math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n) }[/math]

предполагая истинной гипотезу Римана.

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty. }[/math]

Гипотеза Крамера — Гранвилла

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] между простыми, не превышающими [math]\displaystyle{ x }[/math]. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:

[math]\displaystyle{ G(x) \sim \ln^2 x. }[/math]

В вероятностной модели

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c, }[/math] при этом [math]\displaystyle{ c = 1. }[/math]

Но константа [math]\displaystyle{ c }[/math] возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа [math]\displaystyle{ c = 2e^{-\gamma} \approx 1{,}1229\ldots }[/math], где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — постоянная Эйлера.

М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] между последовательными простыми числами меньшими [math]\displaystyle{ x }[/math]. Формула Вольфа выражает [math]\displaystyle{ G(x) }[/math] через функцию распределения простых чисел [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ G(x) \sim \frac{x}{\pi(x)}(2\ln \pi(x) - \ln x + c_0), }[/math]

где [math]\displaystyle{ c_0 = \ln C_2 = 0{,}2778769\dots }[/math], а [math]\displaystyle{ C_2 = 1{,}3203236\dots }[/math] есть удвоенная константа простых-близнецов.

Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

[math]\displaystyle{ R = \frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1} - p_n}}. }[/math]

Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.