Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен [math]\displaystyle{ f(x)/d }[/math] принимает бесконечно много простых значений.

Если [math]\displaystyle{ f(x)=kx+b }[/math] — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен [math]\displaystyle{ \text{НОД}(k,b) }[/math]. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция [math]\displaystyle{ f_1(x)=\frac{kx+b}{d} }[/math] принимает бесконечное множество простых значений (видно, что [math]\displaystyle{ f_1(x) }[/math] целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+1. }[/math]

В статье Bateman, Horn приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

[math]\displaystyle{ \pi_f(N) \sim \frac{C(f)}{\deg f} \int\limits_{2}^{N} \frac{dt}{\ln t}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \pi_f(N) }[/math] — количество целых [math]\displaystyle{ n \leq N }[/math] таких что [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] простое число, и константа [math]\displaystyle{ C(f) = \prod\limits_{p} \frac{1-\frac{\omega (p)}{p}}{1-\frac{1}{p}} }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] пробегает простые числа и [math]\displaystyle{ \omega (p) }[/math] — число решений сравнения [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \pmod {p} }[/math] в поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/(p). }[/math]

Пример

Покажем, например, как можно оценить [math]\displaystyle{ C(f) }[/math] при [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+1 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \omega (2)=1 }[/math], при [math]\displaystyle{ p \equiv -1 \pmod{4} }[/math] будет [math]\displaystyle{ \omega (p)=0 }[/math], а при [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} }[/math] будет [math]\displaystyle{ \omega (p)=2 }[/math]. Остается только численно вычислить произведение.

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
• Открытые проблемы в теории чисел
• Гипотеза H

Литература

• Paul T. Bateman, Roger A. Horn. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers (англ.) // Math. Comp.. — 1962. — Vol. 17, no. 84. — P. 445—447.
• В. Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.—Л.: Физматлит, 1963. — 92 с.
• S. Lang. Bunyakovskii conjecture (Архивная копия от 27 сентября 2013 на Wayback Machine), Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.
• Ed. Pegg, Jr. Bouniakowsky conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05), Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p, arΧiv:math/9808021 [math.NT]. 
• Bouniakowsky V. Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs (фр.) // Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg. — 1857. — P. 305—329.