Перейти к содержанию

Проблемы Ландау

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.

  1. Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
  2. Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
  3. Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  4. Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n2 + 1? (последовательность A002496 в OEIS).

Все четыре проблемы на 2022 год остаются открытыми.

Продвижение в направлении решения проблем

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5[1]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n [math]\displaystyle{ 2n=p+q }[/math], где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль[2].

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[3]: любое чётное число, большее [math]\displaystyle{ e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348} }[/math], является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

Чжан Итан[4] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[англ.][5]. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард[6], Голдстон, Пинц и Йылдырым[7]).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что p+2 является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины [math]\displaystyle{ 2 \sqrt p }[/math]. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×1018[8]. Контрпример около 1018 должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более [math]\displaystyle{ x^{1/6} }[/math] нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим [math]\displaystyle{ \sqrt{2p} }[/math]. В частности,

[math]\displaystyle{ \sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n\gt x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}. }[/math][9].

Результат Ингема показывает, что существует простое между [math]\displaystyle{ n^3 }[/math] и [math]\displaystyle{ (n+1)^3 }[/math] для любого достаточно большого n[10].

Почти квадратные простые числа

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид [math]\displaystyle{ x^2+y^4 }[/math][11].

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида [math]\displaystyle{ n^2+1 }[/math] с максимум двумя простыми делителями[12][13].

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на характерах Гекке[англ.] существует бесконечно много простых чисел вида [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] с [math]\displaystyle{ y=O(\log x) }[/math][14].

Дешуиллерс и Иванец[15], улучшив результат Хули[16] и Тодда[17], показали, что существует бесконечно много чисел вида [math]\displaystyle{ n^2+1 }[/math] с бо́льшим простым множителем по меньшей мере [math]\displaystyle{ n^{1.2} }[/math]. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, решето Бруна[англ.] показывает, что существует [math]\displaystyle{ O(\frac{\sqrt x}{\log x}) }[/math] таких простых, меньших x.

Примечания

  1. ↑
    • Helfgott, H.A. (2013), Major arcs for Goldbach's theorem, arΧiv:1305.2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2012), Minor arcs for Goldbach's problem, arΧiv:1205.5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2013), The ternary Goldbach conjecture is true, arΧiv:1312.7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975, с. 353–370.
  3. ↑ *Yamada, Tomohiro (2015-11-11), Explicit Chen's theorem, arΧiv:1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014, с. 1121–1174.
  5. ↑ Polymath, 2014, с. 12.
  6. ↑ Maynard.
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006, с. 61–65.
  8. ↑ Andersen.
  9. ↑ Matomäki, 2007, с. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937, с. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997, с. 1054–1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978, с. 178–188.
  13. ↑ Oliver, 2012, с. 241–261.
  14. ↑ Ankeny, 1952, с. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982, с. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967, с. 281—299.
  17. ↑ Todd, 1949, с. 517–528.

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Проблемы_Ландау&oldid=5852741