Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.

Истоки гипотезы

Рассмотрим последовательность простых чисел

[math]\displaystyle{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,\dots }[/math]

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

[math]\displaystyle{ 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2,\dots }[/math]

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

[math]\displaystyle{ 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4,\dots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2,\dots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2,\dots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, 2, 0, 0, 0, 2,\dots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, 2, 0, 0, 2,\dots }[/math]

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Гипотеза

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим [math]\displaystyle{ \{p_{n}\} }[/math] упорядоченную последовательность простых чисел [math]\displaystyle{ p_{n} }[/math], и определим члены последовательности [math]\displaystyle{ \{d_{n}\} }[/math] как

[math]\displaystyle{ d_{n} = p_{n+1} - p_{n} }[/math],

где n — натуральное. Считаем также, что [math]\displaystyle{ \{d_{n}\}=\{d_{n}^1\} }[/math] и для каждого натурального [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math], определим последовательность [math]\displaystyle{ \{d_{n}^{k}\} }[/math] формулой

[math]\displaystyle{ d_{n}^{k} = |d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}| }[/math].

(здесь [math]\displaystyle{ k }[/math] — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности [math]\displaystyle{ a_{k} = d_{1}^{k} }[/math] равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Проверка и попытки доказательства

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко в 1993 проверил, что [math]\displaystyle{ d_1^k }[/math] равно 1 для всех [math]\displaystyle{ k \leqslant n = 3{,}4\cdot 10^{11} }[/math], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех [math]\displaystyle{ n }[/math] рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до [math]\displaystyle{ n }[/math]-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие [math]\displaystyle{ n }[/math] рядов начинаются с единицы.

Последовательности для простых чисел до 150

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
1	2	2	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	6	6	2	6	4	2	6	4	6	8	4	2	4	2	4	14	4	6	2	10
1	0	2	2	2	2	2	2	4	4	2	2	2	2	0	4	4	2	2	4	2	2	2	4	2	2	2	2	10	10	2	4	8
1	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	4	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	8	0	8	2	4
1	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	4	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	8	8	8	6	2
1	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	8	0	0	2	4
1	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	8	8	0	2	2
1	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	8	2	0
1	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	4	6	8	6	2
1	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	4
1	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
1	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
1	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
1	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
1	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
1	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
1	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
1	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
1	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
1	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
1	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
1	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
1	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
1	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
1	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
1	0	0	0	2	2	2	0	2	0
1	0	0	2	0	0	2	2	2
1	0	2	2	0	2	0	0
1	2	0	2	2	2	0
1	2	2	0	0	2
1	0	2	0	2
1	2	2	2
1	0	0
1	0
1

См. также

• Пробелы между простыми
• Открытые проблемы в теории чисел

Литература

• В.  Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Л., ФизМатЛит, 1963.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.