Гиперсфера

Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей, меридианов и гипермеридианов.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

• при [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
• при [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] она представляет собой окружность;
• при [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] гиперсфера является сферой.
• при [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math] гиперсфера является 3-сферой.
• при [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] гиперсфера является 4-сферой.

…

• при [math]\displaystyle{ n = 8 }[/math] гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерным подмногообразием в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math] с центром в точке [math]\displaystyle{ a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\} }[/math] задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

[math]\displaystyle{ (x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2 }[/math]

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

[math]\displaystyle{ x = \rho \cdot \cos \alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ y = \rho \cdot \sin \alpha }[/math]

а сферические координаты так:

[math]\displaystyle{ x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta }[/math]

[math]\displaystyle{ y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta }[/math]

[math]\displaystyle{ z = \rho \cdot \sin \beta }[/math]

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

[math]\displaystyle{ x_1 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_3 = \rho \cdot \sin \alpha_2 \cdot \cos \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ x_n = \rho \cdot \sin \alpha_{n-1} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_{1}\in[0,2\pi) }[/math].

Якобиан этого преобразования равен

[math]\displaystyle{ J = \rho^{n-1} \cos\,\alpha_2 \cdot \cos^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos^{n-2}\,\alpha_{n-1} }[/math]

В другом варианте,

[math]\displaystyle{ x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in[0,\pi] }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_{1}\in[0,2\pi) }[/math].

Якобиан в такой форме равен

[math]\displaystyle{ J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1} }[/math]

Площадь и объём

Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] её площадь поверхности [math]\displaystyle{ S_{n-1} }[/math] и объём [math]\displaystyle{ V_n }[/math], ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам:

[math]\displaystyle{ S_{n-1} = n C_n R^{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_n = C_n R^n }[/math]

где

[math]\displaystyle{ C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\displaystyle \Gamma\left({n\over 2}+1\right)} }[/math]

а [math]\displaystyle{ \Gamma(x) }[/math] — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

[math]\displaystyle{ C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ n!! }[/math] — двойной факториал.

Так как

[math]\displaystyle{ V_n / S_{n-1} = R / n }[/math]

[math]\displaystyle{ S_{n+1}/V_n = 2\pi R }[/math]

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

[math]\displaystyle{ V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2} }[/math]

а площади их поверхностей соотносятся как

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{2\pi R^2}{n-1} S_{n-2} }[/math]

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для [math]\displaystyle{ S_{6} }[/math] и [math]\displaystyle{ V_{5} }[/math], соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера ([math]\displaystyle{ S_{n} }[/math])	[math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 \pi }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \pi^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{8}{3} \pi^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{16}{15} \pi^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{32}{105} \pi^4 }[/math]
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар ([math]\displaystyle{ V_{n} }[/math])	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \pi^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{8}{15} \pi^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{6} \pi^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{16}{105} \pi^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{24} \pi^4 }[/math]
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного шара размерность его «объёма» также равна [math]\displaystyle{ n }[/math], а размерность его «площади» — [math]\displaystyle{ n-1 }[/math].

Следует отметить, что отношение объема [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного шара [math]\displaystyle{ V_n = C_n R^n }[/math] к объему описанного вокруг него [math]\displaystyle{ n }[/math]-куба [math]\displaystyle{ 2^n R^n }[/math] быстро уменьшается с ростом [math]\displaystyle{ n }[/math], быстрее, чем [math]\displaystyle{ 2^{-n} }[/math].

Топология гиперсферы

В данном разделе под сферой [math]\displaystyle{ S_n }[/math] будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром [math]\displaystyle{ B_n }[/math] — n-мерный гипершар, то есть [math]\displaystyle{ S_n \hookrightarrow \R^{n+1} }[/math], [math]\displaystyle{ B_n \hookrightarrow \R^n }[/math].

• Сфера [math]\displaystyle{ S_n }[/math] гомеоморфна факторизации шара [math]\displaystyle{ B_{n} }[/math] по его границе.
• Шар [math]\displaystyle{ B_n }[/math] гомеоморфен факторизации [math]\displaystyle{ B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\}) }[/math].
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных [math]\displaystyle{ B_0 = \mathrm{pt} }[/math] и [math]\displaystyle{ B_n }[/math]. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая [math]\displaystyle{ S_n }[/math] вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные [math]\displaystyle{ B_n }[/math], и сферу [math]\displaystyle{ S_{n-1} }[/math], являющуюся их общей границей.

См. также

• Сфера Милнора
• Дикая сфера
• Расслоение Хопфа

Ссылки

• Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов Архивная копия от 19 января 2008 на Wayback Machine
• Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine