Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] на [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math]. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

[math]\displaystyle{ S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2 }[/math].

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] как единичной сферы в [math]\displaystyle{ \Complex^2 }[/math], а двумерной сферы [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] как комплексной проективной прямой [math]\displaystyle{ \Complex P^1 }[/math]. Тогда отображение:

[math]\displaystyle{ p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2) }[/math]

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \theta : (z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1, \theta z_2) }[/math],

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ S^1=\{\theta \mid \theta\in\mathbb{C}, \, |\theta|=1 \} }[/math].

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера [math]\displaystyle{ S^{2n+1} }[/math] расслаивается со слоем-окружностью над [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^n }[/math]. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

[math]\displaystyle{ S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1 }[/math]   (вещественная),

[math]\displaystyle{ S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 }[/math]   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

[math]\displaystyle{ S^3\hookrightarrow S^7\rightarrow S^4 }[/math]   (кватернионная),

[math]\displaystyle{ S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8 }[/math]   (октавная).

Такие расслоения сферы [math]\displaystyle{ S^n }[/math], для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 3, 7, 15\} }[/math]. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] без делителей нуля может быть определено только при [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 4, 8\} }[/math].

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее
• Сфера Милнора

Ссылки

• Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8
• Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math
• Отображение Хопфа на сайте Mathworld