Стохастическое дифференциальное уравнение

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, но не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записана с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики — винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используются две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно СДУ в форме Ито без труда можно переписать в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решения

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном эвклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], где определён [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерный случайный процесс [math]\displaystyle{ B }[/math], описывающий броуновское движение;

Пусть [math]\displaystyle{ T\gt 0 }[/math], и пусть

[math]\displaystyle{ \mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n}; }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m}; }[/math]

— измеримые функции, для которых существуют константы [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] такие, что

[math]\displaystyle{ \big| \mu (x, t) \big| + \big|\big| \sigma (x, t) \big|\big| \leq C \big( 1 + | x | \big); }[/math]

[math]\displaystyle{ \big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big|\big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big|\big| \leq D | x - y |; }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ t\in [0, T] }[/math] и всех [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y\in\mathbb{R}^n }[/math], где

[math]\displaystyle{ | \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}. }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ Z }[/math] — случайная переменная, независимая от [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-алгебры, генерируемой процессом [math]\displaystyle{ B_s }[/math], [math]\displaystyle{ s\ge 0 }[/math], и имеющая конечный второй момент:

[math]\displaystyle{ \mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] \lt + \infty. }[/math]

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

[math]\displaystyle{ \mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} }[/math] для [math]\displaystyle{ t \in [0, T]; }[/math]

[math]\displaystyle{ X_{t} = Z; }[/math]

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и [math]\displaystyle{ t }[/math]-непрерывное решение [math]\displaystyle{ (t, \omega)\shortmid\!\to X_t (\omega) }[/math], такое что [math]\displaystyle{ X }[/math] — адаптированный процесс к фильтрации [math]\displaystyle{ F_t^Z }[/math], генерируемое [math]\displaystyle{ Z }[/math] и [math]\displaystyle{ B_s }[/math], [math]\displaystyle{ s\le t }[/math], и

[math]\displaystyle{ \mathbb{E} \left[ \int\limits_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] \lt + \infty. }[/math]

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \dot{x}_i = \frac{dx_i}{dt} = f_i(\mathbf{x}) + \sum_{m=1}^ng_i^m(\mathbf{x})\eta_m(t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\{x_i|1\le i\le k\} }[/math] — набор неизвестных, [math]\displaystyle{ f_i }[/math] и [math]\displaystyle{ g_i }[/math] — произвольные функции, а [math]\displaystyle{ \eta_m }[/math] — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если [math]\displaystyle{ g_i }[/math] — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда [math]\displaystyle{ g(x) \propto x }[/math]. Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразование первоначального уравнения в уравнение Фоккера — Планка. Уравнение Фоккера — Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Adomian, George. Stochastic systems (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. — (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. — (Mathematics and its Applications (46)).
• Øksendal, Bernt K.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Berlin: Springer, 2003.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science (англ.). — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523—527.
• C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences (англ.). — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View (англ.). — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212.
• Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis (англ.). — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900.