Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс $W_{t}$ , где $t \geq 0$ называется винеровским процессом, если

$W_{0} = 0$ почти достоверно.
$W_{t}$ — процесс с независимыми приращениями.
$W_{t} - W_{s} \sim N (0, σ^{2} (t - s))$ , $\forall 0 \leq s < t < \infty$ ,

где $N (0, σ^{2} (t - s))$ – нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $σ^{2} (t - s)$ . Величину $σ^{2}$ , постоянную для процесса, далее будем считать равной $1$ .

Эквивалентное определение:

$W_{t}$ – гауссовский процесс.
$E W_{t} = 0$ , $\forall t ⩾ 0$ .
$cov (W_{t}, W_{s}) = min (t, s)$ , $\forall t, s ⩾ 0$ .

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

$W_{t}$ — гауссовский процесс.
$W_{t}$ — марковский процесс.
$W_{t} \sim N (0, t)$ . Соответственно $E [W_{t}] = 0$ и $D [W_{t}] = t$ .

$cov (W_{s}, W_{t}) = min (s, t)$ .
$W_{t}$ - мартингал. Здесь под мартингалом мы понимаем $E [W_{t} | W_{s}, s ⩽ τ] = E W_{τ}$
Если $W_{t}$ — винеровский процесс, то $t W_{1 / t}, t > 0$ и $0, t = 0$ , также будет винеровским.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса $V_{t} = (1 / \sqrt{c}) W_{c t}$ при уменьшении c.

Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если $W_{t}$ — винеровский процесс, и $c > 0$ , то

V_{t} = \frac{1}{\sqrt{c}} W_{c t}

также является винеровским процессом.

Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.

Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.

Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.

Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.

\underset{t \to \infty}{lim sup} \frac{W_{t}}{\sqrt{2 t \ln \ln t}} = 1

почти наверное.

$\int_{0}^{t} W_{s} d s \sim N (0, t^{3} / 3)$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ( $n$ -мерный) винеровский процесс $W_{t}$ — это $R^{n}$ -значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

W_{t} = {(W_{t}^{1}, \dots, W_{t}^{n})}^{⊤}, t \geq 0

,

где процессы ${W_{t}^{i}}, i = 1, \dots, n$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа $σ^{2}$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также