Фильтрация (случайные процессы)
Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.
Определение
Пусть дано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] и подмножество числовой прямой [math]\displaystyle{ T \subset \mathbb{R} }[/math]. Семейство σ-алгебр [math]\displaystyle{ \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T} }[/math] такое, что
- [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F},\quad \forall s \le t,\; s,t \in T, }[/math]
называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math].
Естественная фильтрация случайного процесса
Пусть дан случайный процесс [math]\displaystyle{ \{X_t\}_{t \in T} }[/math], определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим
- [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^X_t = \sigma\{X_s \mid s \le t, \; s\in T\},\quad t \in T. }[/math].
Тогда семейство [math]\displaystyle{ \left\{\mathcal{F}^X_t\right\}_{t \in T} }[/math] является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса [math]\displaystyle{ \{X_t\} }[/math].