Свободная частица

Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• [math]\displaystyle{ E = T = \frac{mv^2}{2} }[/math], где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
• [math]\displaystyle{ E = T = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 }[/math], где с — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

[math]\displaystyle{ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi }[/math]

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

[math]\displaystyle{ \psi_\mathbf{k} = A_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - itE/\hbar} }[/math],

где

[math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} }[/math],

[math]\displaystyle{ A_\mathbf{k} }[/math] любое комплексное число.

Волновой вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math] является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется [math]\displaystyle{ \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} }[/math]. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

[math]\displaystyle{ H =- \frac{\hbar^2}{2m} \Delta }[/math]

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

[math]\displaystyle{ \Delta = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right) }[/math]

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:

[math]\displaystyle{ H =- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right) }[/math]

Классическая функция Гамильтона имеет вид

[math]\displaystyle{ H_c (\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \frac{1}{2 m} g^{i k}(\mathbf{q}) p_{i} p_{k} }[/math]

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально

[math]\displaystyle{ H (\mathbf{P}, \mathbf{Q}) = \frac{1}{2 m} \left( g^{i k}(\mathbf{Q}) P_{i} P_{k} + i \hbar g^{is}(\mathbf{Q}) \Gamma_{is}^k(\mathbf{Q})P_k\right) }[/math]

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

[math]\displaystyle{ E = \pm c \sqrt{m^2c^2 + p^2} }[/math],

где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.

Литература

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.