Прямоугольная квантовая яма
Прямоуго́льная ква́нтовая я́ма — средняя. характеризующаяся наименьшей потенциальной энергией, часть трёхчастной квантовомеханической системы с кусочно-постоянной зависимостью потенциальной энергии от декартовой координаты. Обычно рассматривается симметричная система, в которой потенциал в крайних частях одинаков; такой профиль потенциала является одним из самых простых в квантовой механике. Он может быть математически представлен как отрицательная константа на некотором отрезке [math]\displaystyle{ -a\ldots a }[/math] и нуль в остальных точках вещественной оси:
- [math]\displaystyle{ U(x) = \begin{cases} -U_0, & |x| \leqslant a,\\ 0, & |x| \gt a. \end{cases} }[/math]
Порядок величины [math]\displaystyle{ a }[/math] — несколько нанометров, величины [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] — от долей до единиц эВ. Движение по двум другим координатам (то есть в плоскости [math]\displaystyle{ yz }[/math]) предполагается свободным.
Волновые функции частицы
Стационарное уравнение Шрёдингера для описанного профиля потенциала имеет вид
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{\hbar^2}{2 m}\Psi''(x)-U_0 \Psi(x) = E \Psi, & |x| \leqslant a,\\ -\frac{\hbar^2}{2 m}\Psi''(x) = E \Psi, & |x| \gt a. \end{cases} }[/math]
Если ввести обозначения
- [math]\displaystyle{ \varkappa = \sqrt{-\frac{2 m E }{\hbar^2}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ k_0 = \sqrt{\frac{2 m U_0 }{\hbar^2}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ k = \sqrt{k_0^2 - \varkappa^2}, }[/math]
то оно примет вид
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} \Psi''(x) + k^2 \Psi = 0, & |x| \leqslant a,\\ \Psi''(x) + \varkappa^2 \Psi = 0, & |x| \gt a. \end{cases} }[/math]
Потенциал инвариантен по отношению к инверсии пространства [math]\displaystyle{ V(x) = V(-x) }[/math], поэтому решения уравнения Шрёдингера являются собственными функциями оператора чётности, то есть являются либо чётными, либо нечётными. Чётные решения имеют вид
- [math]\displaystyle{ u_+(x) = \begin{cases} A_+ \cos k x, & |x| \leqslant a,\\ A_+ e^{\varkappa (a - |x|)} \cos k a & |x| \gt a, \end{cases} }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ A_+= \frac{1}{\sqrt{ a + \frac{1}{k}\sin ka \cos ka + \frac{1}{\varkappa} \cos^2 ka}} }[/math]
Нечётные
- [math]\displaystyle{ u_-(x) = \begin{cases} A_- \sin k x, & |x| \leqslant a,\\ A_- e^{\varkappa (a - |x|)} \sin k a & |x| \gt a, \end{cases} }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ A_-= \frac{1}{\sqrt{ a - \frac{1}{k}\sin ka \cos ka + \frac{1}{\varkappa} \sin^2 ka}} }[/math]
Уровни энергии частицы
Этот раздел статьи ещё не написан. |
Литература
- Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
- Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.