Квантовая яма с бесконечными стенками

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия [math]\displaystyle{ U }[/math] бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (англ. particle in a box).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение [math]\displaystyle{ U }[/math] в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

[math]\displaystyle{ U(x) = \begin{cases} 0, & x \in (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}),\\ \infty, & x \notin (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \end{cases} }[/math]

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале [math]\displaystyle{ \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m} \Psi''(x)=E\Psi(x). }[/math]

С учётом обозначения [math]\displaystyle{ k = \sqrt{2 m E / \hbar^2} }[/math], оно примет вид:

[math]\displaystyle{ \Psi''(x) + k^2 \Psi(x) = 0. }[/math]

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

[math]\displaystyle{ \Psi(x) = C^+ \cos k x + C^- \sin k x. }[/math]

Граничные значения имеют вид:

[math]\displaystyle{ \Psi \left(-\frac{a}{2}\right) = \Psi \left(\frac{a}{2} \right) = 0. }[/math]

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} C^+ \cos \frac{k a}{2} + C^- \sin \frac{k a}{2} = 0,\\ C^+ \cos \frac{k a}{2} - C^- \sin \frac{k a}{2} = 0, \end{cases} }[/math]

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

[math]\displaystyle{ - 2\cos \frac{k a}{2}\sin \frac{k a}{2} = 0, }[/math]

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

[math]\displaystyle{ \sin k a = 0. }[/math]

Корни этого уравнения имеют вид

[math]\displaystyle{ k_{n} = \frac{\pi n}{a}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+. }[/math]

Подставляя в систему, имеем:

[math]\displaystyle{ C^-_n = 0, \qquad n = 2 n_0 + 1, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+, }[/math]

[math]\displaystyle{ C^+_n = 0, \qquad n = 2 n_0 , \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+. }[/math]

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

[math]\displaystyle{ \Psi_{n_0}^+(x) = C^+_{2 n_0 + 1} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Psi_{n_0}^-(x) = C^-_{2 n_0} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+. }[/math]

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left(\Psi_{n_0}^{\pm}(x)\right)^2 dx = 1, }[/math]

получим явный вид нормировочных множителей:

[math]\displaystyle{ C^+_{2 n_0 + 1} = C^-_{2 n_0} =\sqrt{\frac{2}{a}}. }[/math]

В результате получим собственные функции гамильтониана:

[math]\displaystyle{ \Psi_{n_0}^+(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \cos \frac{(2 n_0 + 1) \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Psi_{n_0}^-(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{2 n_0 \pi x}{a}, \qquad n_0 \in \mathbb{Z}_+, }[/math]

с соответствующим энергетическим спектром:

[math]\displaystyle{ E^+_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2 n_0 + 1)^2}{2m a^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ E^-_{n_0} = \frac{\hbar^2 \pi^2 (2n_0)^2}{2m a^2} }[/math]

Литература

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.