Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad ( 1 ) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса частицы, [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] — потенциальная энергия, [math]\displaystyle{ E }[/math] — полная энергия, [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_1\psi(a)+\beta_1\frac{d\psi(a)}{dx}=\gamma_1, \qquad ( 2 ) }[/math] [math]\displaystyle{ \alpha_2\psi(b)+\beta_2\frac{d\psi(b)}{dx}=\gamma_2, \qquad ( 3 ) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2 }[/math] — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] с граничными условиями [math]\displaystyle{ ( 2 ) }[/math] и [math]\displaystyle{ ( 3 ) }[/math].

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности,

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=1. \qquad ( 0a ) }[/math]

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция [math]\displaystyle{ x }[/math]. В одномерном случае, если волновая функция [math]\displaystyle{ \psi(x)\sim1/x^\alpha }[/math] при [math]\displaystyle{ x\longrightarrow +\infty }[/math], то показатель степени в соответствии с выражением

[math]\displaystyle{ \int^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=\int^{+\infty}1/x^{2\alpha}dx=1/x^{2\alpha-1}\mid^{+\infty} \longrightarrow 0, \qquad ( 0b ) }[/math]

должен удовлетворять неравенству [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1/2. }[/math]

Интегрирование уравнения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

[math]\displaystyle{ \int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}dx= \frac{2m}{\hbar^2}\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}(U(x)-E)\psi(x)dx, \qquad ( 0c ) }[/math]

из которого в пределе [math]\displaystyle{ \varepsilon\longrightarrow 0 }[/math] следует

[math]\displaystyle{ \left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =0, \qquad ( 0d ) }[/math]

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией ([math]\displaystyle{ U(x)=-G\delta(x-a) }[/math]), то условие [math]\displaystyle{ ( 0c ) }[/math] принимает вид

[math]\displaystyle{ \left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =\frac{2m}{\hbar^2}(-G)\psi(a). \qquad ( 0e ) }[/math]

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math], с граничными условиями [math]\displaystyle{ ( 2 ) }[/math] и [math]\displaystyle{ ( 3 ) }[/math] не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math].

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] принимает особенно простой вид

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x). \qquad ( 4 ) }[/math]

Частными решениями этого уравнения являются функции

[math]\displaystyle{ {{\psi }_{E}}\left( x \right)=C{{e}^{\pm \sqrt{2mE}x/\hbar }}.\quad \quad (4a) }[/math]

Здесь энергия [math]\displaystyle{ E }[/math] может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Для функций (4a) интеграл (0а), определяющий условие нормировки, расходится. В этом случае нормировочную константу [math]\displaystyle{ C }[/math] следует определить из условия

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{dx}\psi _{E}^{*}\left( x \right){{\psi }_{{{E}'}}}\left( x \right)=\delta \left( E-{E}' \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta \left( x \right) }[/math] - дельта функция Дирака. В результате получаем [math]\displaystyle{ C=1/\sqrt{2\pi \hbar \text{v}} }[/math], где  [math]\displaystyle{ \text{v}=\sqrt{2E/m} }[/math] - скорость частицы.

Для уравнения (4) общим решением является суперпозиция плоских волн

[math]\displaystyle{ \psi(x)=C_1 e^{i\sqrt{2mE}x/\hbar}+C_2 e^{-i\sqrt{2mE}x/\hbar}. \qquad ( 5 ) }[/math]

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] с потенциальной энергией [math]\displaystyle{ U(x) }[/math], которая равна нулю в интервале [math]\displaystyle{ (0,a) }[/math] и становится бесконечной в точках [math]\displaystyle{ 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ a }[/math]. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с [math]\displaystyle{ ( 4 ) }[/math]. Граничные условия [math]\displaystyle{ ( 2 ) }[/math], [math]\displaystyle{ ( 3 ) }[/math] для волновой функции запишутся в виде

[math]\displaystyle{ \psi(0)=0, \qquad ( 6 ) }[/math] [math]\displaystyle{ \psi(a)=0. \qquad ( 7 ) }[/math]

Ищем решения в виде [math]\displaystyle{ A\sin{(\sqrt{2mE/\hbar^2}x+\delta)} }[/math]. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии [math]\displaystyle{ E_n }[/math]

[math]\displaystyle{ E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2 \qquad ( 8 ) }[/math]

и собственных функций с учётом нормировки

[math]\displaystyle{ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{\pi n}{a}x}. \qquad ( 9 ) }[/math]

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках [math]\displaystyle{ x_n }[/math], а именно, заменяя вторую производную по формуле

[math]\displaystyle{ \frac{d^2y(x)}{dx^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}, \qquad ( 10 ) }[/math]

где [math]\displaystyle{ h }[/math] — шаг дискретизации, [math]\displaystyle{ n }[/math] — номер узла сетки, получим

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_ny_n=Ey_n, \qquad ( 11 ) }[/math]

где [math]\displaystyle{ U_n }[/math] — значение потенциальной энергии [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] на узлах сетки. Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение [math]\displaystyle{ ( 11 ) }[/math] можно записать в безразмерном виде

[math]\displaystyle{ -y_{n-1}+(2+h^2\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}y_n. \qquad ( 12 ) }[/math]

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии [math]\displaystyle{ v_n=\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2} }[/math] и собственные значения [math]\displaystyle{ e=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2} }[/math], то уравнение [math]\displaystyle{ ( 12 ) }[/math] упростится

[math]\displaystyle{ -y_{n-1}+(2+h^2 v_n-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 13 ) }[/math]

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов [math]\displaystyle{ n }[/math].

Литература

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

См. также

• Яма с бесконечными стенками
• Треугольная квантовая яма