Дираковская потенциальная гребёнка

Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

[math]\displaystyle{ U(x) = \frac{\hbar^2}{m} \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na), }[/math]

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2 m} \Psi''(x) + \frac{\hbar^2}{m} \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na)\Psi(x) = E \Psi(x). }[/math]

Вводя обозначение [math]\displaystyle{ k = \sqrt{2mE/\hbar^2} }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \Psi''(x) + \left(k^2 - 2 \Omega \sum\limits_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na) \right)\Psi(x) = 0. }[/math]

В интервале [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt a }[/math] уравнение принимает вид:

[math]\displaystyle{ \Psi''(x) + k^2 \Psi(x) = 0 }[/math]

и его общее решение равно

[math]\displaystyle{ \Psi(x) = C_1 e^{ikx} + C_2 e^{-ikx}. }[/math]

Так как потенциал периодический, то в интервале [math]\displaystyle{ a \lt x \lt 2a }[/math] решение имеет вид

[math]\displaystyle{ \Psi(x) = e^{iKa} \left( C_1 e^{ik(x - a)} + C_2 e^{-ik(x - a)} \right). }[/math]

Условие непрерывности волновой функции

[math]\displaystyle{ \Psi(a + 0) = \Psi(a - 0). }[/math]

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки [math]\displaystyle{ x = a }[/math], получим условие сшивки для производных:

[math]\displaystyle{ \Psi'(a + 0) = \Psi'(a - 0) + 2 \Omega \Psi(a). }[/math]

Учитывая эти условия, имеем:

[math]\displaystyle{ e^{iKa}(A + B) = A e^{ika} + B e^{-ika}, }[/math]

[math]\displaystyle{ ik e^{iKa}(A - B) = ik( A e^{ika} - B e^{-ika}) + 2 \Omega (A e^{ika} + B e^{-ika}). }[/math]

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

[math]\displaystyle{ \cos Ka = \cos ka + \frac{\Omega}{k} \sin ka. }[/math]

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

[math]\displaystyle{ |\cos ka + \frac{\Omega}{k} \sin ka| \leqslant 1. }[/math]

Соответствующий спектр энергий:

[math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2}{2 m a^2} (ka)^2. }[/math]

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

См. также

Частица в периодическом потенциале