Потенциал Пёшль — Теллера

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

[math]\displaystyle{ U(x) = \frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right) }[/math]

на промежутке [math]\displaystyle{ 0 \leqslant x \leqslant \pi/(2 a) }[/math], на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям [math]\displaystyle{ \varkappa \gt 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda \gt 1 }[/math]. Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера.

График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром [math]\displaystyle{ \lambda = 3 }[/math] и различными значениями [math]\displaystyle{ \varkappa }[/math]

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

[math]\displaystyle{ - \frac{\hbar^2}{2 m} \Psi''(x) + \frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = E \Psi(x). }[/math]

Если ввести обозначение [math]\displaystyle{ k = \sqrt{2 m E / \hbar^2} }[/math], то оно примет вид:

[math]\displaystyle{ \Psi''(x)+ \left(k^2 - a^2\frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} - a^2\frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = 0. }[/math]

После замены переменных

[math]\displaystyle{ y = \sin^2 ax }[/math]

получим

[math]\displaystyle{ y(1 - y)\Psi''(y) + \left( \frac{1}{2} - y \right)\Psi'(y) + \frac{1}{4}\left( \frac{k^2}{a^2} - \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{y} - \frac{\lambda(\lambda - 1)}{1 -y}\right)\Psi(y) = 0. }[/math]

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

[math]\displaystyle{ \Psi(y) = y^{\mu} (1 - y)^{\nu} f(y) }[/math]

Если выбрать

[math]\displaystyle{ \mu = \frac{\varkappa}{2}, \qquad \nu = \frac{\lambda}{2}, }[/math]

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

[math]\displaystyle{ y(1 - y) f''(y) + \left( \left( \varkappa + \frac{1}{2} \right) - y \left( \varkappa + \lambda + 1 \right) \right) f'(y) + \frac{1}{4} \left( \frac{\varkappa^2}{a^2}+(\varkappa + \lambda)^2\right) f(y) = 0. }[/math]

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

[math]\displaystyle{ f(y)= C_1 \; _2F_1(a, b ; c; y) + C_2 y^{1 - c} \; _2F_1(a + 1 - c, b + 1 - c ; 2 - c; y), }[/math]

где введены обозначения:

[math]\displaystyle{ a = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda + \frac{k}{a} \right), \quad b = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda - \frac{k}{a} \right), \quad c = \varkappa + \frac{1}{2}. }[/math]

Если учесть граничные условия:

[math]\displaystyle{ \Psi(0) = \Psi(1) = 0, }[/math]

то получим собственные функции

[math]\displaystyle{ \Psi_n(x) = C_1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax), }[/math]

где константа вычисляется с учётом нормировки:

[math]\displaystyle{ C_1 = \left( \int\limits_0^1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax) dx \right)^{-\frac{1}{2}}. }[/math]

Соответствующие уровни энергии равны:

[math]\displaystyle{ E_n = - \frac{\hbar^2}{2 m} (\varkappa + \lambda + 2n)^2, \quad n \in \mathbb{Z}_+. }[/math]

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

• I. G. Kaplan. Intermolecular interactions. — 2006.

• Paul Harrison. Quantum wells, wires, and dots. — 2005.