Проективное представление

Проективное представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math] на векторном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] над полем [math]\displaystyle{ F }[/math] — это гомоморфизм [math]\displaystyle{ G }[/math] в проективную группу

[math]\displaystyle{ \mathrm{PGL}(V) = \mathrm{GL}(V) / F^*, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(V) }[/math] — полная линейная группа, а [math]\displaystyle{ F^* }[/math] — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.^[1] Иными словами, это набор операторов [math]\displaystyle{ \rho(g)\in\mathrm{GL}(V),\, g\in G }[/math] таких, что

[math]\displaystyle{ \rho(g)\rho(h) = c(g, h)\rho(gh) }[/math]

для некоторой константы [math]\displaystyle{ c(g, h)\in F }[/math].

Некоторые проективные представления можно получить из представлений [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(V) }[/math] с помощью факторотображения [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V) }[/math]. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(V); }[/math] в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

Специальная ортогональная группа [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(n,F) }[/math] дважды накрывается спинорной группой [math]\displaystyle{ \mathrm{Spin}(n,F) }[/math].
В частности, группа вращений трёхмерного пространства [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] накрывается [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math], изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}(2,\C) }[/math] универсального накрытия группы Лоренца [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}^+(3,1) }[/math].
Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{3,1} \rtimes \operatorname{SL}(2, \C) }[/math], представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии [math]\displaystyle{ H^2(\mathfrak g; \mathbb R) }[/math] алгебры Ли [math]\displaystyle{ \mathfrak g }[/math] тривиальны, то всякое проективное унитарное представление [math]\displaystyle{ G }[/math] может быть поднятно до обычного унитарного представления [math]\displaystyle{ G }[/math].^[2]^[3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. также

Примечания

↑ Gannon, 2006, pp. 176–179.
↑ Bargmann, 1954
↑ Simms, 1971

Литература

Bargmann, Valentine (1954), On unitary ray representations of continuous groups, Annals of Mathematics Т. 59 (1): 1–46, DOI 10.2307/1969831
Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen, Crelle's Journal Т. 139: 155–250, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=261150>
Simms, D. J. (1971), A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups, Reports on Mathematical Physics Т. 2 (4): 283–287, DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5

[1] Gannon, 2006, pp. 176–179.

[2] Bargmann, 1954

[3] Simms, 1971

[1]

[2]

[3]