Спинорная группа

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над [math]\displaystyle{ V }[/math] (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида [math]\displaystyle{ q_1\cdot q_2\cdots q_{2n} }[/math], где [math]\displaystyle{ q_i \in V }[/math] — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(n) }[/math]. Существует короткая точная последовательность

[math]\displaystyle{ 1\to\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to 1 }[/math]

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы [math]\displaystyle{ \operatorname{SO}(n) }[/math]. Гомоморфизм [math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n) }[/math] может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение [math]\displaystyle{ R_q }[/math] относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы [math]\displaystyle{ q_1\cdot q_2\cdots q_{2n} }[/math] можно сопоставить композицию отражений

[math]\displaystyle{ R_{q_1,}\circ\cdots\circ R_{q_{2n}} }[/math]

которая принадлежит группе [math]\displaystyle{ \operatorname{SO}(n) }[/math]. Проективные представления накрываемой группы [math]\displaystyle{ \operatorname{SO}(n) }[/math] находятся при этом во взаимно-однозначном соответствии с представлениями её накрытия [math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(n) }[/math].

Строение первых спинорных групп

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(1) \simeq \operatorname{O}(1) \simeq \Z_2 \simeq \mathbb{S}^0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(2) \simeq \operatorname{U}(1) \simeq \mathbb{S}^1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(3) \simeq \operatorname{Sp}(1) \simeq \operatorname{SU}(2) \simeq \mathbb{S}^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(4) \simeq \operatorname{Sp}(1){\times}\operatorname{Sp}(1) \simeq \operatorname{SU}(2){\times}\operatorname{SU}(2) \simeq \mathbb{S}^3{\times}\mathbb{S}^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(5) \simeq \operatorname{Sp}(2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Spin}(6) \simeq \operatorname{SU}(4) }[/math]