Накрытие

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение [math]\displaystyle{ p:X\to Y }[/math] линейно связного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] на линейно связное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math], такое, что у любой точки [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] найдётся окрестность [math]\displaystyle{ U\subset Y }[/math], полный прообраз которой [math]\displaystyle{ p^{-1}(U) }[/math] представляет собой объединение попарно непересекающихся областей [math]\displaystyle{ V_k\subset X }[/math]:

[math]\displaystyle{ p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots }[/math],

причём на каждой области [math]\displaystyle{ V_k }[/math] отображение [math]\displaystyle{ p:\,V_k\to U }[/math] является гомеоморфизмом между [math]\displaystyle{ V_k }[/math] и [math]\displaystyle{ U }[/math].

Формальное определение

Отображение [math]\displaystyle{ p:X\to Y }[/math] линейно связного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] на линейно связное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется накрытием, если у любой точки [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] имеется окрестность [math]\displaystyle{ U\subset Y }[/math], для которой существует гомеоморфизм [math]\displaystyle{ h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma }[/math], где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — дискретное пространство, такое что если [math]\displaystyle{ \pi:U\times \Gamma\to U }[/math] обозначает естественную проекцию, то

[math]\displaystyle{ p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h }[/math].

Связанные определения

Пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется базой накрытия, а [math]\displaystyle{ X }[/math] — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
Прообраз [math]\displaystyle{ p^{-1}(y) }[/math] точки [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] называют слоем над точкой [math]\displaystyle{ y }[/math].
Число областей [math]\displaystyle{ V_k }[/math] в полном прообразе [math]\displaystyle{ p^{-1}(U) }[/math] называется числом листов.
- Если это число конечно и равно [math]\displaystyle{ n }[/math], то накрытие называется [math]\displaystyle{ n }[/math]-листным.
Накрытие [math]\displaystyle{ p\colon \tilde Y \to Y }[/math] называется универсальным если для любого другого накрытия [math]\displaystyle{ q\colon X\to Y }[/math] существует накрытие [math]\displaystyle{ s\colon \tilde Y \to X }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ p=q\circ s }[/math].

Примеры

Пусть [math]\displaystyle{ S^1 }[/math] обозначает единичную окружность комплексной плоскости [math]\displaystyle{ S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\} }[/math].
- [math]\displaystyle{ p: {\mathbb R}\to S^1 }[/math], [math]\displaystyle{ p:x\mapsto e^{2\pi i x} }[/math].
- [math]\displaystyle{ p:S^1\to S^1 }[/math], [math]\displaystyle{ p:z\mapsto z^k }[/math], где [math]\displaystyle{ k\neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ k \in {\mathbb Z} }[/math].

Свойства

Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
Все двулистные накрытия регулярны.
Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] и также локальной односвязности [math]\displaystyle{ Y }[/math]. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(Y, y_0) }[/math]: если [math]\displaystyle{ p(x_0)=y_0 }[/math], то индуцированный гомоморфизм [math]\displaystyle{ p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0) }[/math], отображает [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math] изоморфно на подгруппу в [math]\displaystyle{ \pi_1(Y, y_0) }[/math] и, меняя точку [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] в [math]\displaystyle{ p^{-1}(y_0) }[/math], можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ H }[/math] — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы [math]\displaystyle{ G=\pi_1 (Y, y_0)/H }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math], причём [math]\displaystyle{ p }[/math] оказывается факторотображением на пространство орбит [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле [math]\displaystyle{ q:[0,1] \to Y }[/math], [math]\displaystyle{ q(0)=q(1)=y_0 }[/math], сопоставить единственный путь [math]\displaystyle{ \tilde q: [0,1]\to X }[/math], для которого [math]\displaystyle{ \tilde q(0) = x_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ p\tilde q=q }[/math], то точка [math]\displaystyle{ \tilde q(1) }[/math] будет зависеть только от класса этой петли в [math]\displaystyle{ G }[/math] и от точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. Таким образом, элементу из [math]\displaystyle{ G }[/math] отвечает перестановка точек в [math]\displaystyle{ p^{-1}(y_0) }[/math]. Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. Это определяет гомеоморфизм [math]\displaystyle{ X }[/math] коммутирующий с [math]\displaystyle{ p }[/math].

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в [math]\displaystyle{ p^{-1}(y_0) }[/math], то есть имеется действие [math]\displaystyle{ \pi_1(Y, y_0) }[/math] на [math]\displaystyle{ p^{-1}(y_0) }[/math], называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого [math]\displaystyle{ G=\pi_1(Y, y_0) }[/math] или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе [math]\displaystyle{ H\subset \pi_1(Y, y_0) }[/math] однозначно строится накрытие [math]\displaystyle{ p:X\to Y }[/math], для которого образ [math]\displaystyle{ \pi_1(X, x_0) }[/math] есть [math]\displaystyle{ H }[/math].

Для любого отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] линейно связного пространства [math]\displaystyle{ (Z, z_0) }[/math] в [math]\displaystyle{ (Y, y_0) }[/math] поднятие его до отображения [math]\displaystyle{ \tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0) }[/math] существует тогда и только тогда, когда образ [math]\displaystyle{ f(\pi_1(Z, z_0)) }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ H }[/math]. Между накрытиями [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в [math]\displaystyle{ \pi_1(Y, y_0) }[/math]. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).