H-пространство

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

Связное топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] вместе с непрерывным отображением

[math]\displaystyle{ \mu\colon X\times X\to X }[/math]

с единичным элементом, то есть элементом [math]\displaystyle{ e\in X }[/math] такое, что

[math]\displaystyle{ \mu(e,x)=\mu(x,e)=x }[/math]

для любого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] называется H-пространством.

Замечания

• Иногда ограничиваются более слабым условием, что отображения [math]\displaystyle{ x\mapsto \mu(e,x) }[/math] и [math]\displaystyle{ x\mapsto\mu(x,e) }[/math] гомотопны тождественному (иногда с фиксированным [math]\displaystyle{ e\in X }[/math]).
  • Данные три определения являются эквивалентными для СW-комплексов.

Примеры

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{H}_X }[/math] всех непрерывных отображений [math]\displaystyle{ X\to X }[/math], гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом [math]\displaystyle{ \mu\colon\mathcal{H}_X\times\mathcal{H}_X\to\mathcal{H}_X }[/math] можно определить как композицию [math]\displaystyle{ \mu(f,g)=f\circ g }[/math].

• Среди сфер, только [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^0 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^1 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^7 }[/math] являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^0 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] являются группами Ли, а [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^7 }[/math] — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

См. также

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

Ссылки

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, <http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html> . Section 3.C