Локальное кольцо

Локальное кольцо — кольцо, которое имеет относительно простую внутреннюю структуру и позволяет описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.

Определение

Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:

• R имеет единственный максимальный левый идеал;
• R имеет единственный максимальный правый идеал;
• Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения, и единица кольца не совпадает с нулем.

В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

Примеры

• Все тела являются локальными кольцами, поскольку единственный собственный идеал в них — нулевой идеал.
• Важный класс локальных колец — кольца дискретного нормирования. В частности, все локальные области главных идеалов являются кольцами дискретного нормирования.
• Кольцо формальных степенных рядов от любого числа переменных локально.
• Локализация любого коммутативного кольца R по простому идеалу является локальным кольцом.

Ростки функций

Основная статья: Росток (математика)

Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.

Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.

В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.

Некоммутативные локальные кольца

Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле ненулевой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.

Локализация кольца по простому идеалу

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] — простой идеал в нём. Множество [math]\displaystyle{ S_{\mathfrak{p}} = \{a\in R:\, a\notin \mathfrak{p}\} }[/math] — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math].

Локализацией [math]\displaystyle{ R_{\mathfrak{p}} }[/math] кольца R по простому идеалу [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] называется кольцо частных [math]\displaystyle{ S_{\mathfrak{p}}^{-1}R }[/math] кольца R по мультипликативной системе [math]\displaystyle{ S_{\mathfrak{p}} }[/math]. Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм [math]\displaystyle{ \pi_{\mathfrak{p}} }[/math] кольца R в [math]\displaystyle{ S_{\mathfrak{p}}^{-1}R }[/math] по формуле [math]\displaystyle{ \pi_{\mathfrak{p}}(r)=r/1 }[/math].

При этом все обратимые элементы в [math]\displaystyle{ R_{\mathfrak{p}} }[/math] имеют вид [math]\displaystyle{ s_1/s_2 }[/math], где оба элемента [math]\displaystyle{ s_1,s_2\in S_{\mathfrak{p}} }[/math], а необратимые — имеют вид r/s, [math]\displaystyle{ r\in \mathfrak{p},\,s\in S_{\mathfrak{p}} }[/math] и образуют идеал [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]. Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца [math]\displaystyle{ R_{\mathfrak{p}} }[/math], он — максимальный идеал, а [math]\displaystyle{ R_{\mathfrak{p}} }[/math] — локальное кольцо.

См. также

• Лемма Накаямы

Литература

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Lam, T.Y. A first course in noncommutative rings (неопр.). — 2nd. — Springer-Verlag, 2001. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95183-0.
• Jacobson, Nathan. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.