Кольцо частных

Кольцом частных S⁻¹R коммутативного кольца R (с единицей) по мультипликативной системе [math]\displaystyle{ S\subset R }[/math] называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей.

Используется также термин локализация кольца R по множеству S. Этот термин происходит из алгебраической геометрии: если R — это кольцо функций на алгебраическом многообразии V, то для того, чтобы изучить локальные свойства этого многообразия в точке p, обычно рассматривают множество функций, которые не равны нулю в этой точке и локализуют R по этому множеству.

Обычное обозначение для локализации (или кольца частных) — S⁻¹R, однако в отдельных случаях чаще употребляют другие обозначения. Так, если S — дополнение простого идеала I, локализация R обозначается как R_I (и называется локализацией кольца по простому идеалу), а если S — множество всех степеней элемента f, используется обозначение R_f. Последние два случая являются фундаментальными для теории схем.

Определение

Мультипликативной системой в кольце R называется подмножество S в R, содержащее 1, не содержащее нуля и замкнутое по умножению (в кольце R). Для мультипликативной системы S множество [math]\displaystyle{ I_S = \{ a\in R: \, \exist s\in S, \, as=0 \} }[/math] образует идеал в кольце R. В случае, когда множество S не содержит делителей нуля кольца R, идеал [math]\displaystyle{ I_S }[/math] состоит только из нуля и система S называется регулярной. Если R — целостное кольцо, в нём всякая мультипликативная система регулярна.

Элементами кольца частных кольца R по мультипликативной системе S являются формальные дроби вида r/s, где r — произвольный элемент R, а s — элемент множества S. Две дроби [math]\displaystyle{ r_1/s_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ r_2/s_2 }[/math] считаются эквивалентными (представляют один и тот же элемент кольца частных), если [math]\displaystyle{ r_1s_2 - r_2s_1\in I_S }[/math]. Операции сложения и умножения определяются как обычно:

[math]\displaystyle{ r_1/s_1 + r_2/s_2 = (r_1s_2 + r_2s_1)/s_1s_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ r_1/s_1 * r_2/s_2 = r_1r_2/s_1s_2 }[/math]

Проверяется, что, если в сумме или произведении дроби заменить на эквивалентные, новый результат будет выражаться дробью, эквивалентной прежней. С такими операциями множество [math]\displaystyle{ S^{-1}R }[/math] приобретает структуру коммутативного кольца с единицей. Нулём в нём служит дробь 0/1, единицей — дробь 1/1.

Поле частных

Если R — область целостности, множество всех его ненулевых элементов образует мультипликативную систему. Кольцо частных по этой системе является полем и называется полем частных или полем отношений, оно обычно обозначается Frac(R) или Quot(R). Все элементы поля частных имеют вид a/b, где a, b — элементы R и b ≠ 0, с обычными арифметическими правилами сокращения числителя и знаменателя, сложения и умножения. Легко видеть, что поле частных — наименьшее поле, в которое можно вложить R. Например, поле частных поля изоморфно самому полю.

Существует естественное вложение кольца в своё поле частных, отправляющее a в a/1. Поле частных кольца R удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : R → F — инъективный гомоморфизм колец из R в поле F, то существует единственный гомоморфизм колец g : Quot(R) → F, который совпадает с h на элементах R. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — целостные кольца, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

Свойства

Кольцо частных имеет каноническую структуру алгебры над кольцом R, так как вместе с кольцом S⁻¹R сразу определён и канонический гомоморфизм кольца R в S⁻¹R (каждому элементу r из R соответствует дробь r/1). Ядром этого гомоморфизма является идеал [math]\displaystyle{ I_S }[/math]. В случае, если система S регулярна (не содержит делителей нуля), этот гомоморфизм инъективен, и кольцо R, таким образом, вложено в своё кольцо частных по системе S. При этом дробь r/s является единственным решением уравнения sx = r.
Если оба элемента r и s принадлежат S, тогда в кольце S⁻¹R содержатся дроби r/s и s/r. Их произведение равно 1, следовательно, они обратимы. Обратно: каждый обратимый элемент кольца S⁻¹R имеет вид er/s, где r и s принадлежат S, а e — обратимый элемент кольца R.
Если R — евклидово кольцо, то всякое кольцо, промежуточное между R и его полем частных, является кольцом частных кольца R по некоторой мультипликативной системе S.
Если система S состоит из одних только обратимых элементов кольца R, канонический гомоморфизм кольца R в S⁻¹R превращается в изоморфизм, так как каждая дробь r/s оказывается сократимой в кольце R.
Существует биекция между множеством простых идеалов S⁻¹R и множеством простых идеалов R, не пересекающихся со множеством S (индуцируемая гомоморфизмом R → S⁻¹R). Важный частный случай этого свойства: локализация кольца по простому идеалу p даёт локальное кольцо, единственный простой идеал которого порождён образами элементов p.

Примеры

Полем частных кольца целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] является поле рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math].
Степени числа 10 в [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] образуют мультипликативную систему. Кольцом частных по ней будет кольцо конечных десятичных дробей.
Полем частных кольца многочленов [math]\displaystyle{ k[X_1,X_2,...,X_n] }[/math] над полем k будет поле рациональных функций [math]\displaystyle{ k(X_1,X_2,...,X_n) }[/math].
Чётные числа в [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] образуют простой идеал. Локализацией кольца [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] по нему будет кольцо рациональных дробей, у которых в несократимом виде знаменатель — нечётное число.
Рассмотрим кольцо многочленов k[x] и f = x. Тогда R_f — кольцо многочленов Лорана^[en] k[x, x⁻¹].

Модули частных

Примерно такую же конструкцию можно применить и к модулям и для произвольного A-модуля M рассмотреть модуль частных S⁻¹M. А именно, пусть [math]\displaystyle{ I_S }[/math] — множество элементов модуля, аннулируемых умножением на какой-либо элемент мультипликативной системы S, легко проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения на элемент кольца. Модуль частных S⁻¹M — это множество формальных дробей вида m/s с отношением эквивалентности [math]\displaystyle{ r_1/s_1 \equiv r_2/s_2 }[/math], если [math]\displaystyle{ r_1s_2 - r_2s_1\in I_S }[/math], с обычной операцией сложения дробей, а также с операцией умножения на элементы кольца S⁻¹A вида m/s * a/s' = am/ss'.

Пусть [math]\displaystyle{ u:M\to N }[/math] — гомоморфизм A-модулей, он индуцирует гомоморфизм S⁻¹A-модулей [math]\displaystyle{ S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N }[/math], отображающий m/s в u(m)/s. Очевидно, что [math]\displaystyle{ S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v }[/math], то есть операция S⁻¹ является функтором. Более того, этот функтор является точным.^[1] Из этого следует, что если [math]\displaystyle{ M' }[/math] является подмодулем [math]\displaystyle{ M }[/math], то и [math]\displaystyle{ S^{-1}M' }[/math] является подмодулем [math]\displaystyle{ S^{-1}M }[/math]. Если же мы рассмотрим два подмодуля данного модуля, то применение к ним S⁻¹ перестановочно со взятием суммы модулей, пересечения модулей и взятием фактормодуля.

Существует представление модуля частных при помощи тензорного произведения: [math]\displaystyle{ S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes_A M. }[/math] Из этого представления и из точности функтора локализации следует, что модуль [math]\displaystyle{ S^{-1}M }[/math] является плоским.

Локальные свойства

Свойство P кольца A (или A-модуля M) называется локальным если следующие утверждения эквивалентны:

A (соотв. M) обладает свойством P,
A_I (соотв. M_I) обладает свойством P для всех простых идеалов I кольца A.

Можно привести следующие примеры локальных свойств: свойство модуля быть равным нулю, свойство гомоморфизма быть инъективным или сюръективным (нужно рассматривать гомоморфизмы, индуцированные локализацией), свойство модуля быть плоским.

Примечания

↑ Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — 2003.

Ссылки

Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра. — Т.1. — М.: ИЛ, 1963.

[1] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — 2003.

[1]