Лемма Накаямы
Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.
Формулировки
Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:
|
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m. |
Доказательство леммы. Пусть [math]\displaystyle{ m_1,m_2,...,m_n }[/math] — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде
- [math]\displaystyle{ m_i = a_{i1}m_1 + a_{i2}m_2 + \dots + a_{in}m_n }[/math], где [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] — элементы идеала I. То есть [math]\displaystyle{ \sum\limits_{j} (\delta_{ij} - a_{ij})m_j = 0 }[/math] (где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] - символ Кронекера) .
Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j
- [math]\displaystyle{ \operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij}) \cdot m_j = 0 }[/math].
Так как [math]\displaystyle{ \operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij}) }[/math] представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.
Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:
Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.
Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.
Применение к модулям над локальными кольцами
Пусть R — локальное кольцо, [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и [math]\displaystyle{ \phi: M \to M/\mathfrak{m}M }[/math] — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю [math]\displaystyle{ M/\mathfrak{m}M }[/math], которое есть конечномерное векторное пространство над полем [math]\displaystyle{ R/\mathfrak{m} }[/math]. Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:
|
Элементы [math]\displaystyle{ m_1,m_2,...,m_n\in M }[/math] порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы [math]\displaystyle{ \phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n) }[/math] порождают фактормодуль [math]\displaystyle{ M/\mathfrak{m}M }[/math]. |
Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами [math]\displaystyle{ m_1,m_2,...,m_n }[/math], Q = M/S — фактормодуль и [math]\displaystyle{ \pi: M \to Q }[/math] — гомоморфизм факторизации. Так как [math]\displaystyle{ \phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n) }[/math] порождают фактормодуль [math]\displaystyle{ M/\mathfrak{m}M }[/math], это означает, что для всякого [math]\displaystyle{ m\in M }[/math] существует [math]\displaystyle{ s\in S }[/math], такой что [math]\displaystyle{ m-s\in \mathfrak{m}M }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \pi(m) = \pi(m-s)\in \mathfrak{m}Q }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ \pi }[/math] сюръективно, это означает, что [math]\displaystyle{ Q = \mathfrak{m}Q }[/math]. По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.
Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:
|
Пусть [math]\displaystyle{ \phi:\,M\to N }[/math] — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей [math]\displaystyle{ \phi_0:\,M/\mathfrak{m}M\to N/\mathfrak{m}N }[/math]. Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно. |
На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:
|
Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен. |
Литература
- М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.