Кольцо дискретного нормирования

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Кольцо дискретного нормирования — это целостное кольцо R, удовлетворяющее одному из следующих (эквивалентных) условий:

1) R — локальная область главных идеалов, не являющаяся полем.

2) R — локальное дедекиндово кольцо, не являющееся полем.

3) R — нётерово локальное кольцо, размерность Крулля которого равна единице, а единственный максимальный идеал — главный.

4) R — целозамкнутое одномерное нётерово локальное кольцо.

5) R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом.

6) R — факториальное кольцо с единственным неразложимым элементом (с точностью до взятия ассоциированных).

7) Существует дискретное нормирование поля частных кольца R, такое что R совпадает со множеством элементов с неотрицательной нормой.

Примеры

• Обозначим [math]\displaystyle{ \mathbb Z_{(2)}=\{ p/q \;|\; p,q\in \mathbb Z, q\not\vdots \;2 \}. }[/math] Поле частных этого кольца — всё [math]\displaystyle{ \mathbb Q. }[/math] Разложим числитель и знаменатель произвольного рационального [math]\displaystyle{ r }[/math] на простые и представим его в виде [math]\displaystyle{ 2^kp/q }[/math] с нечётными [math]\displaystyle{ p,q }[/math], положим [math]\displaystyle{ v(r)=k. }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb Z_{(2)} }[/math] — кольцо дискретного нормирования, соответствующее [math]\displaystyle{ v }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ \mathbb Z_{(2)} }[/math] — локализация дедекиндова кольца [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] по простому идеалу [math]\displaystyle{ (2) }[/math]. Оказывается, что локализация любого дедекиндова кольца по ненулевому простому идеалу — кольцо дискретного нормирования.
• В качестве более геометричного примера возьмём кольцо рациональных функций, знаменатель которых не равен нулю в нуле, то есть функций, которые определены в некоторой окрестности нуля. Такие функции образуют кольцо дискретного нормирования, единственный неприводимый элемент — функция [math]\displaystyle{ x }[/math] (с точностью до взятия ассоциированных), а соответствующее нормирование рациональных функций — порядок нуля (возможно, нулевой или отрицательный) этой функции в нуле. Этот пример является стандартным для изучения алгебраической кривой в неособой точке; в данном случае, алгебраическая кривая — вещественная ось.
• Другой важный пример — кольцо формальных степенных рядов; здесь неприводимый элемент — ряд [math]\displaystyle{ x }[/math], а нормирование — степень первого ненулевого коэффициента. Если ограничиться вещественными или комплексными коэффициентами, можно рассмотреть ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля — это по-прежнему кольцо дискретного нормирования.
• Кольцо p-адических чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z_p }[/math].

Топология

Любое кольцо дискретного нормирования естественным образом является топологическим кольцом, расстояние между элементами x и y задаётся следующим образом:

[math]\displaystyle{ |x-y| = 2^{-\nu(x-y)} }[/math]

(вместо 2 можно взять любое действительное число >1). Интуитивно, элемент мал (близок к нулю), если его норма велика.

Кольцо дискретного нормирования компактно тогда и только тогда, когда оно полно и поле вычетов R/m (m — максимальный идеал) конечно.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7