Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] найдется её окрестность [math]\displaystyle{ U }[/math], гомеоморфная открытому подмножеству пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], то [math]\displaystyle{ X }[/math] называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности [math]\displaystyle{ n }[/math].

Пара [math]\displaystyle{ (U, \phi) }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math]. Таким образом, каждой точке соответствует набор [math]\displaystyle{ n }[/math] вещественных чисел [math]\displaystyle{ (x^1, \ldots, x^n) }[/math], которые называются координатами в карте [math]\displaystyle{ (U, \phi) }[/math]. Множество карт [math]\displaystyle{ \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A, }[/math] называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-атласом [math]\displaystyle{ (0 \leqslant k \leqslant \infty) }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math], если:

• совокупность всех [math]\displaystyle{ U_\alpha }[/math] покрывает [math]\displaystyle{ X }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha }[/math]
• для любых [math]\displaystyle{ \alpha, \beta \in A }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing }[/math], отображение:

[math]\displaystyle{ \phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) }[/math]

является гладким отображением класса [math]\displaystyle{ C^k }[/math];

[math]\displaystyle{ \phi_{\alpha}^{\beta} }[/math] является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты [math]\displaystyle{ (U_\alpha, \phi_\alpha) }[/math] с картой [math]\displaystyle{ (U_\beta, \phi_\beta). }[/math]

Два [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-атлас. Совокупность [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-структурами, при [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant \infty }[/math] — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие [math]\displaystyle{ X }[/math], наделенное [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-структурой, называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-гладким многообразием.

Замечания

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую [math]\displaystyle{ C^a }[/math]-структурой.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] более общих пространств [math]\displaystyle{ \Complex^n }[/math] или даже [math]\displaystyle{ K^n }[/math], где [math]\displaystyle{ K }[/math] — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае [math]\displaystyle{ K = \Complex }[/math] рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-структуры ([math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math]) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math]-структура, и на [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math]-многообразии,[math]\displaystyle{ 0 \leqslant k \leqslant \infty }[/math], — [math]\displaystyle{ C^r }[/math]-структура, если [math]\displaystyle{ 0 \leqslant r \leqslant k }[/math]. Наоборот, любое паракомпактное [math]\displaystyle{ C^r }[/math]-многообразие, [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]-многообразие нельзя наделить [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]-неизоморфных [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math]-структур на [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сфере равно:

[math]\displaystyle{ n }[/math]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math]	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображения

Пусть [math]\displaystyle{ f : X \to Y }[/math] — непрерывное отображение [math]\displaystyle{ C^r }[/math]-многообразий [math]\displaystyle{ X, Y }[/math]; оно называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-морфизмом (или [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-отображением, [math]\displaystyle{ k \leqslant r }[/math], или отображением класса [math]\displaystyle{ C^k }[/math]) гладких многообразий, если для любой пары карт [math]\displaystyle{ (U_\alpha, \phi_\alpha) }[/math] на X и [math]\displaystyle{ (V_\beta, \psi_\beta) }[/math] на Y такой, что [math]\displaystyle{ f(U_\alpha) \subset V_\beta }[/math] и отображение:

[math]\displaystyle{ \psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta) }[/math]

принадлежит классу [math]\displaystyle{ C^k }[/math]. Биективное отображение [math]\displaystyle{ f }[/math], если оно и [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] являются [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-отображениями, называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] и их [math]\displaystyle{ C^r }[/math]-структуры называются [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подмножество [math]\displaystyle{ Y }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-многообразия [math]\displaystyle{ X }[/math] называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-подмногообразием размерности [math]\displaystyle{ m }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math], если для произвольной точки [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] существует карта [math]\displaystyle{ (U, \phi) }[/math] [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-структуры [math]\displaystyle{ X }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ y\in U }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi }[/math] индуцирует гомеоморфизм [math]\displaystyle{ U\cap Y }[/math] с (замкнутым) подпространством [math]\displaystyle{ \R^m \subset \R^n }[/math]; иными словами, существует карта с координатами [math]\displaystyle{ (x^1, \ldots, x^n) }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ U \cap Y }[/math] определяется соотношениями [math]\displaystyle{ x^{m+1}= \ldots= x^n = 0 }[/math].

Отображение [math]\displaystyle{ f : X \to Y }[/math] называется [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-вложением, если [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] является [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-подмногообразием в [math]\displaystyle{ Y }[/math], а [math]\displaystyle{ X \to f(X) }[/math] — [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-диффеоморфизм.

Любое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-многообразие допускает вложение в [math]\displaystyle{ \R^{2n + 1} }[/math], а также в [math]\displaystyle{ \R^{2n}. }[/math] Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений [math]\displaystyle{ C^k(X,\R^{2n+1}) }[/math] относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.