Конечная p-группа

Группа называется конечной [math]\displaystyle{ p }[/math]-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа, тогда

• P — нильпотентна.
• [math]\displaystyle{ |Z(P)|\gt 1 }[/math], где [math]\displaystyle{ Z(P) }[/math] — центр группы P.
• Для любого [math]\displaystyle{ 1\leq k \lt n }[/math] в [math]\displaystyle{ P }[/math] существует нормальная подгруппа порядка [math]\displaystyle{ p^k }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ H }[/math] нормальна в [math]\displaystyle{ P }[/math], то [math]\displaystyle{ |H\cap Z(P)|\gt 1 }[/math].
• [math]\displaystyle{ P'\leq \Phi(P) }[/math].
• [math]\displaystyle{ P/\Phi(P)\cong E_{p^d} }[/math].

Некоторые классы конечных p-групп

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных [math]\displaystyle{ p }[/math]-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса

Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math] называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна [math]\displaystyle{ n-1 }[/math].

Если [math]\displaystyle{ P }[/math] — конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа максимального класса, то [math]\displaystyle{ P'=\Phi(P) }[/math] и [math]\displaystyle{ |Z(P)|=p }[/math].

Единственными 2-группами порядка [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] максимального класса являются: диэдральная группа [math]\displaystyle{ D_{2^n} }[/math], обобщённая группа кватернионов [math]\displaystyle{ Q_{2^n} }[/math] и полудиэдральная группа [math]\displaystyle{ SD_{2^n} }[/math].

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы

Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа называется [math]\displaystyle{ p }[/math]-центральной, если [math]\displaystyle{ \Omega_1(P)\leq Z(P) }[/math]. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной [math]\displaystyle{ p }[/math]-группы.

Мощные p-группы

Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа называется мощной, если [math]\displaystyle{ [P,P]\leq P^p }[/math] при [math]\displaystyle{ p\neq 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ [P,P]\leq P^4 }[/math] при [math]\displaystyle{ p=2 }[/math]. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию [math]\displaystyle{ p }[/math]-центральной [math]\displaystyle{ p }[/math]-группы.

Регулярные p-группы

Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа [math]\displaystyle{ P }[/math] называется регулярной, если для любых [math]\displaystyle{ x,y\in P }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ (xy)^p=x^p y^p c^p }[/math], где [math]\displaystyle{ c\in P' }[/math]. Регулярными будут, например, все абелевы [math]\displaystyle{ p }[/math]-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной [math]\displaystyle{ p }[/math]-группы регулярна.
• Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа порядка не большего [math]\displaystyle{ p^p }[/math] является регулярной.
• Конечная [math]\displaystyle{ p }[/math]-группа класс нильпотентности которой меньше [math]\displaystyle{ p }[/math] является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при [math]\displaystyle{ p\gt 2 }[/math].
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков

Число различных [math]\displaystyle{ p }[/math]-групп порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math]

• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p }[/math] равно 1: группа [math]\displaystyle{ C_{p} }[/math].
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] равно 2: группы [math]\displaystyle{ C_{p^2} }[/math] и [math]\displaystyle{ C_{p}\times C_{p} }[/math].
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^3 }[/math] равно 5, из них три абелевы группы: [math]\displaystyle{ C_{p^3} }[/math], [math]\displaystyle{ C_{p^2}\times C_{p} }[/math], [math]\displaystyle{ C_{p}\times C_{p}\times C_{p} }[/math] и две неабелевы: при [math]\displaystyle{ p\gt 2 }[/math] — [math]\displaystyle{ E_{p^3}^+ }[/math] и [math]\displaystyle{ E_{p^3}^- }[/math]; при p = 2 — [math]\displaystyle{ D_4 }[/math], [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math].
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^4 }[/math] равно 15 при [math]\displaystyle{ p\gt 2 }[/math], число групп порядка [math]\displaystyle{ 2^4 }[/math] равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^5 }[/math] равно [math]\displaystyle{ 2p + 61 + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4) }[/math] при [math]\displaystyle{ p\geq 5 }[/math]. Число групп порядка [math]\displaystyle{ 2^5 }[/math] равно 51, число групп порядка [math]\displaystyle{ 3^5 }[/math] равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^6 }[/math] равно [math]\displaystyle{ 3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5) }[/math] при [math]\displaystyle{ p\geq 5 }[/math]. Число групп порядка [math]\displaystyle{ 2^6 }[/math] равно 267, число групп порядка [math]\displaystyle{ 3^6 }[/math] равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^7 }[/math] равно [math]\displaystyle{ 3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9) }[/math] при [math]\displaystyle{ p\gt 5 }[/math]. Число групп порядка [math]\displaystyle{ 2^7 }[/math] равно 2328, число групп порядка [math]\displaystyle{ 3^7 }[/math] равно 9310, число групп порядка [math]\displaystyle{ 5^7 }[/math] равно 34297.

p-группы порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math], асимптотика

При [math]\displaystyle{ n\rightarrow\infty }[/math] число неизоморфных групп порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math] асимптотически равно [math]\displaystyle{ p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3} }[/math].

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп

Группа автоморфизмов конечной p-группы

Для групп [math]\displaystyle{ p }[/math]-автоморфизмов конечной [math]\displaystyle{ p }[/math]-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] является нециклической [math]\displaystyle{ p }[/math]-группой порядка [math]\displaystyle{ |P|\geq p^3 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ |P|\leq |Syl_p(Aut(P))| }[/math].

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса [math]\displaystyle{ p }[/math]-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более [math]\displaystyle{ p^7 }[/math], групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка [math]\displaystyle{ q }[/math] нильпотентна.

• Пусть группа [math]\displaystyle{ P }[/math] обладает регулярным автоморфизмом простого порядка [math]\displaystyle{ q }[/math]. Тогда её класс нильпотентности равен [math]\displaystyle{ cl(P)=\frac{q^2-1}{4} }[/math].

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: [math]\displaystyle{ cl(P) \lt q^q }[/math] (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с [math]\displaystyle{ m }[/math] образующими и периодом [math]\displaystyle{ n }[/math] (то есть все её элементы [math]\displaystyle{ x }[/math] удовлетворяют соотношению [math]\displaystyle{ x^n=1 }[/math]), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через [math]\displaystyle{ B(m,n) }[/math]. Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа [math]\displaystyle{ B(m,2) }[/math] является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы [math]\displaystyle{ B(m,3) }[/math] равен [math]\displaystyle{ 3^{\frac{m(m^2+5)}{6}} }[/math]. Однако, как показали Новиков и Адян, при [math]\displaystyle{ m\geq 2 }[/math] и при любом нечётном [math]\displaystyle{ n\geq 4381 }[/math] группа [math]\displaystyle{ B(m,n) }[/math] бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных [math]\displaystyle{ m }[/math]-порождённых групп периода [math]\displaystyle{ n }[/math] ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных [math]\displaystyle{ p }[/math] групп она означает, что существует лишь конечное число [math]\displaystyle{ p }[/math] групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы

Классификация нерегулярных p-групп порядка [math]\displaystyle{ p^{p+1} }[/math].

Литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки

• Система GAP.