Вложение

Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: [math]\displaystyle{ f: X\hookrightarrow Y }[/math].

Для заданных [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения [math]\displaystyle{ X }[/math] с образом [math]\displaystyle{ f(X)\subset Y }[/math], такую что [math]\displaystyle{ X\subseteq Y }[/math].

Геометрия и топология

Общая топология

Отображение топологических пространств [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] называется вложением [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math], если [math]\displaystyle{ f: X\to f(X)\subset Y }[/math] — гомеоморфизм^[1] (на [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] рассматривается топология, индуцированная с [math]\displaystyle{ Y }[/math]). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существование вложения [math]\displaystyle{ X\to Y }[/math] — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в [math]\displaystyle{ Y }[/math], а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть [math]\displaystyle{ M, N }[/math] — гладкие многообразия и [math]\displaystyle{ f: M\to N }[/math] — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал [math]\displaystyle{ df }[/math] отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).^[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ U\subset M, x\in U }[/math], такая что [math]\displaystyle{ f: U\to N }[/math] — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rⁿ. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении^[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец [math]\displaystyle{ f \colon A \to B }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] является подкольцом кольца [math]\displaystyle{ B }[/math], то вложение [math]\displaystyle{ f }[/math] устанавливает изоморфизм между кольцами [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ f(A) }[/math].

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: A → B, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: C → B, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. также

Погружение (топология)

Примечания

↑ Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , page 16.
↑ Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , page 22.
↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.

[1] Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , page 16.

[2] Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , page 22.

[3] Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.

[1]

[2]

[3]