Плоский модуль

Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.

Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.

Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.

Определение

Можно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.

• (Левый) [math]\displaystyle{ R }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ M }[/math] называется плоским тогда и только тогда, когда функтор [math]\displaystyle{ N \mapsto M \otimes_R N }[/math] является точным.
• Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, [math]\displaystyle{ R }[/math]-модуль [math]\displaystyle{ M }[/math] является плоским, если для любого инъективного гомоморфизма [math]\displaystyle{ R }[/math]-модулей [math]\displaystyle{ \phi : K \to L }[/math] индуцированное отображение [math]\displaystyle{ F_M(\phi) : M \otimes_R K \to M \otimes_R L }[/math] также инъективно.
• Модуль [math]\displaystyle{ M }[/math] является плоским, если каждого конечнопорождённого идеала в кольце [math]\displaystyle{ R }[/math] (с естественным вложением [math]\displaystyle{ I \hookrightarrow R }[/math]) индуцированное отображение [math]\displaystyle{ I \otimes_R M \to R \otimes_R M \cong M }[/math] инъективно.

Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом

Для любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S⁻¹R является плоским R-модулем.

Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу [math]\displaystyle{ M_{\mathfrak p} }[/math] является свободным модулем над кольцом частных [math]\displaystyle{ R_{\mathfrak p} }[/math].

Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм [math]\displaystyle{ f:R\to S }[/math], имеет смысл спросить, является ли эта алгебра плоским R-модулем. Оказывается, что S является строго плоским модулем тогда и только тогда, когда каждый простой идеал кольца R является прообразом под действием f некоторого простого идеала из S, то есть когда отображение [math]\displaystyle{ f^* \colon \mathrm{Spec}(S) \to \mathrm{Spec}(R) }[/math] сюръективно (см. статью Спектр кольца).

Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:

Модули без кручения ⊃ плоские модули ⊃ проективные модули ⊃ свободные модули.

Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.

Категорные копределы

Прямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.

Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей. Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.

Гомологическая алгебра

Свойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда Tor_n^R(-, M) = 0 для всех [math]\displaystyle{ n \ge 1 }[/math] (то есть когда Tor_n^R(X, M) = 0 для всех [math]\displaystyle{ n \ge 1 }[/math] и всех правых R-модулей X), определение плоского правого модуля аналогично. Используя этот факт, можно доказать несколько свойств короткой точной последовательности модулей:

[math]\displaystyle{ 0 \longrightarrow A \stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0 }[/math]

• Если A и C плоские, то и B плоский.
• Если B и C плоские, то и A плоский.

Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако

• Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.

Плоские резольвенты

Плоская резольвента модуля M — это резольвента вида

… → F₂ → F₁ → F₀ → M → 0

где все F_i плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.

Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что F_n не равен нулю F_i=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля., в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F₀ → M → 0 следует, что M изоморфен F₀, то есть является плоским.

Литература

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1; 978-0-387-94269-8 
• Enochs, Edgar E. (1981), Injective and flat covers, envelopes and resolvents, Israel J. Math. Т. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF0276084 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5 
• Mac Lane, Saunders (1963), Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press 
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra 
• Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytique, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier Т. 6: 1–42, ISSN 0373-0956, doi:10.5802/aif.59, <http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0>