Поле частных
Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности [math]\displaystyle{ R }[/math] как наименьшее поле[1][2], содержащее [math]\displaystyle{ R. }[/math] Поле частных для [math]\displaystyle{ R }[/math] может обозначаться [math]\displaystyle{ \operatorname{Frac}(R) }[/math] или [math]\displaystyle{ \operatorname{Quot}(R). }[/math]
Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов [math]\displaystyle{ R }[/math] как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).
Примеры
- Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Q. }[/math]
- Возьмём в качестве [math]\displaystyle{ R }[/math] кольцо гауссовых целых чисел вида [math]\displaystyle{ a+bi, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — обычные целые числа. Тогда [math]\displaystyle{ \operatorname{Frac}(R) = \{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in\Q\} }[/math] — поле рациональных гауссовых чисел.
- Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
- Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — поле. Тогда кольцо многочленов [math]\displaystyle{ K[X] }[/math] с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для [math]\displaystyle{ K[X] }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ K(X) }[/math] и называется полем рациональных функций[3].
Построение
Поле частных для области целостности [math]\displaystyle{ R }[/math] строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел[4] (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов [math]\displaystyle{ a,b \in R\ (b \ne 0) }[/math] и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ (c,d) }[/math] эквивалентны, если [math]\displaystyle{ ad=bc. }[/math] Поле частных [math]\displaystyle{ \operatorname{Frac}(R) }[/math] определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару [math]\displaystyle{ (a,b), }[/math] по аналогии с обычными дробями будем обозначать [math]\displaystyle{ a/b }[/math] или [math]\displaystyle{ {a\over b}. }[/math]
Сумма [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{c}{d} }[/math] определяется, как для дробей: [math]\displaystyle{ \frac{ad+bc}{bd}. }[/math] Аналогично определяется умножение: [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. }[/math] Несложно проверить[4]:
- результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
- сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
- классы [math]\displaystyle{ 0/b }[/math] и [math]\displaystyle{ a/a }[/math] играют роль нуля и единицы соответственно;
- все аксиомы кольца выполнены.
Поэтому [math]\displaystyle{ \operatorname{Frac}(R) }[/math] — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу [math]\displaystyle{ R }[/math] — для доказательства сопоставим [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] класс, содержащий пару [math]\displaystyle{ a/1. }[/math]
Далее установим, что у каждого ненулевого класса [math]\displaystyle{ {a\over b} }[/math] имеется обратный элемент [math]\displaystyle{ {b\over a}, }[/math] определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура [math]\displaystyle{ \operatorname{Frac}(R) }[/math] является полем.
Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма[4].
Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.
Свойства
Поле частных кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : [math]\displaystyle{ R }[/math] → [math]\displaystyle{ F }[/math] — инъективный гомоморфизм колец из [math]\displaystyle{ R }[/math]' в поле [math]\displaystyle{ F }[/math], то существует единственный гомоморфизм колец g: [math]\displaystyle{ \operatorname{Quot}(R) }[/math] → [math]\displaystyle{ F }[/math], который совпадает с h на элементах [math]\displaystyle{ R }[/math]. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.
В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.
Примечания
- ↑ Зарисский, Самюэль, 1963, с. 56.
- ↑ Stephan Foldes. Fundamental structures of algebra and discrete mathematics (англ.). — 1994. — P. 128.
- ↑ Pierre Antoine Grillet. Abstract algebra (неопр.). — 2007. — С. 124.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Куликов, 1979, с. 439—443.
Литература
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 374 с.
- Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.
Ссылки
- Кострикин А. И. Поле отношений целостного кольца. Архивная копия от 7 декабря 2018 на Wayback Machine // Введение в алгебру, § 9.5.4.3.1. М.: Наука, 1977, стр. 233—236.