Инъекция (математика)

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] множества [math]\displaystyle{ X }[/math] во множество [math]\displaystyle{ Y }[/math] ([math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math]), при котором разные элементы множества [math]\displaystyle{ X }[/math] переводятся в разные элементы множества [math]\displaystyle{ Y }[/math], то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 }[/math].

Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] аналогичная фраза формулируется как отображение [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] инъективно, если существует [math]\displaystyle{ g\colon Y\to X }[/math], при котором композиция [math]\displaystyle{ g\circ f=\operatorname{id}_X }[/math].

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

[math]\displaystyle{ f\colon \R_{\gt 0}\to\R,\;f(x)=\ln x }[/math] (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь [math]\displaystyle{ \R_{\gt 0} }[/math] — множество положительных чисел).
[math]\displaystyle{ f\colon \R_+\to\R,\;f(x)=x^2 }[/math] — инъективно (здесь [math]\displaystyle{ \R_+ }[/math] — множество неотрицательных чисел).
[math]\displaystyle{ f\colon \R\to\R_+,\;f(x)=x^2 }[/math] — не является инъективным, так как [math]\displaystyle{ f(-2)=f(2)=4 }[/math].

Применение

Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.