Точный функтор

Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] — абелевы категории и [math]\displaystyle{ F: P \to Q }[/math] — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:

[math]\displaystyle{ 0 \to A \to B \to C \to 0 }[/math]

объектов [math]\displaystyle{ P }[/math].

Если [math]\displaystyle{ F }[/math] — ковариантный функтор, [math]\displaystyle{ F }[/math] является:

• полуточным, если [math]\displaystyle{ F(A) \to F(B) \to F(C) }[/math] точна;
• точным слева, если [math]\displaystyle{ 0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) }[/math] точна;
• точным справа, если [math]\displaystyle{ F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0 }[/math] точна;
• точным, если [math]\displaystyle{ 0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0 }[/math] точна.

Если [math]\displaystyle{ G }[/math] — контравариантный функтор из [math]\displaystyle{ P }[/math] в [math]\displaystyle{ Q }[/math], [math]\displaystyle{ G }[/math] является:

• полуточным, если [math]\displaystyle{ G(C) \to G(B) \to G(A) }[/math] точна;
• точным слева, если [math]\displaystyle{ 0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) }[/math] точна;
• точным справа, если [math]\displaystyle{ G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0 }[/math] точна;
• точным, если [math]\displaystyle{ 0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0 }[/math] точна.

Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида [math]\displaystyle{ A \to B \to C }[/math] в точные последовательности.

Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.

Примеры

• Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
• Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math] — произвольная абелева категория и [math]\displaystyle{ A }[/math] — её объект, то [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathcal A (A, X) }[/math] — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ A }[/math] проективен. Соответственно, контравариантный функтор [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathcal A (X, A) }[/math] точен тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ A }[/math] инъективен.
• Если [math]\displaystyle{ T }[/math] — правый [math]\displaystyle{ R }[/math]-модуль, то возможно определить функтор [math]\displaystyle{ H_T }[/math] из категории левых [math]\displaystyle{ R }[/math]-модулей в [math]\displaystyle{ \mathbf{Ab} }[/math] с помощью тензорного произведения над [math]\displaystyle{ R: H_T(X) = T \otimes X }[/math]. Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ T }[/math] — плоский модуль.
• Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.