Целое алгебраическое число

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Очевидно, [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть [math]\displaystyle{ u }[/math] — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[u] }[/math], порождённое добавлением [math]\displaystyle{ u }[/math] к кольцу обычных целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]. Оно образовано всевозможными значениями [math]\displaystyle{ f(u) }[/math], где [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число [math]\displaystyle{ u }[/math] является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[u] }[/math] — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел

Гауссовы целые числа.
Корни из единицы — корни многочлена [math]\displaystyle{ x^n-1 }[/math] над полем комплексных чисел.

Свойства

Все рациональные числа, входящие в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], являются целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь [math]\displaystyle{ m/n }[/math] со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
Для каждого алгебраического числа [math]\displaystyle{ u }[/math] существует натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ nu }[/math] — целое алгебраическое число.
Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида [math]\displaystyle{ a+b\sqrt{-5} }[/math] имеют место 2 разложения:

[math]\displaystyle{ 6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5}) }[/math],

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература

К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М.: Наука, 3-е изд., 1985.— 504 с.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел