Числа Салема
В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число α > 1, все сопряжённые которого имеют модуль не больше 1 и по крайней мере одно из них имеет единичный модуль. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.
Свойства
Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным[англ.]. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.
Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).
Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана
Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)
- [math]\displaystyle{ P(x) = x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1, }[/math]
значение которого x ≈ 1,177 628; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полинома[1].
Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,
- [math]\displaystyle{ Q(x) = x^{12} - x^7 - x^6 - x^5 + 1, }[/math]
все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению[2]
- [math]\displaystyle{ x^{630}-1 = \frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{3}-1)^3(x^{2}-1)^5(x-1)^3 }{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^2(x^{14}-1)^2(x^{5}-1)^6\,x^{68}} }[/math].
Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени
- [math]\displaystyle{ x^3 - x - 1, }[/math]
известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно xn/2) и решить уравнение
- [math]\displaystyle{ x^n P(x) = \pm P^{*}(x) }[/math]
относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:
- [math]\displaystyle{ x^n(x^3-x-1) = -x^3-x^2+1 }[/math]
и при n = 8 получим
- [math]\displaystyle{ (x-1)(x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1) = 0, }[/math]
где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения,
- [math]\displaystyle{ x(x^3-x-1)^{1/n} = \pm (x^3+x^2-1)^{1/n} }[/math].
Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x3 − x − 1 = 0.[прояснить] При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположном[каком?] направлении. Используя минимальный полином [math]\displaystyle{ x^4-x^3-1 }[/math] следующего наименьшего PV-числа
- [math]\displaystyle{ x^n (x^4-x^3-1) = -(x^4+x-1), }[/math]
который для n = 7 принимает вид
- [math]\displaystyle{ (x-1)(x^{10} -x^6 -x^5 -x^4 +1) = 0 }[/math]
при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень x ≈ 1,216391…, который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x4 − x3 − 1 = 0.
Примечания
- ↑ Borwein (2002) p.16
- ↑ D. Bailey and D. Broadhurst, A Seventeenth Order Polylogarithm Ladder
Литература
- Borwein, Peter[англ.]. Computational Excursions in Analysis and Number Theory (англ.). — Springer-Verlag, 2002. — (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9. Chap. 3.
- Boyd, David (2001), Salem number, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- M.J. Mossinghoff. Small Salem numbers . Дата обращения: 7 января 2016.
- Salem, R.[англ.]. Algebraic numbers and Fourier analysis (неопр.). — Boston, MA: D. C. Heath and Company[англ.], 1963. — (Heath mathematical monographs).