Числа Салема

В математике числом Салема является вещественное целое алгебраическое число α > 1, все сопряжённые которого имеют модуль не больше 1 и по крайней мере одно из них имеет единичный модуль. Числа Салема представляют интерес для диофантовых приближений и гармонического анализа. Они названы в честь французского математика Рафаэля Салема.

Свойства

Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.

Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).

Связь с числами Пизо—Виджаярагхавана

Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)

[math]\displaystyle{ P(x) = x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1, }[/math]

значение которого x ≈ 1,177 628; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полинома.

Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,

[math]\displaystyle{ Q(x) = x^{12} - x^7 - x^6 - x^5 + 1, }[/math]

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению

[math]\displaystyle{ x^{630}-1 = \frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{3}-1)^3(x^{2}-1)^5(x-1)^3 }{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^2(x^{14}-1)^2(x^{5}-1)^6\,x^{68}} }[/math].

Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени

[math]\displaystyle{ x^3 - x - 1, }[/math]

известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно x^n/2) и решить уравнение

[math]\displaystyle{ x^n P(x) = \pm P^{*}(x) }[/math]

относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:

[math]\displaystyle{ x^n(x^3-x-1) = -x^3-x^2+1 }[/math]

и при n = 8 получим

[math]\displaystyle{ (x-1)(x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1) = 0, }[/math]

где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения,

[math]\displaystyle{ x(x^3-x-1)^{1/n} = \pm (x^3+x^2-1)^{1/n} }[/math].

Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x³ − x − 1 = 0.^{[прояснить]} При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположном^{[каком?]} направлении. Используя минимальный полином [math]\displaystyle{ x^4-x^3-1 }[/math] следующего наименьшего PV-числа

[math]\displaystyle{ x^n (x^4-x^3-1) = -(x^4+x-1), }[/math]

который для n = 7 принимает вид

[math]\displaystyle{ (x-1)(x^{10} -x^6 -x^5 -x^4 +1) = 0 }[/math]

при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень x ≈ 1,216391…, который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x⁴ − x³ − 1 = 0.

Литература

• Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory (англ.). — Springer-Verlag, 2002. — (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9. Chap. 3.
• Boyd, David (2001), Salem number, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• M.J. Mossinghoff. Small Salem numbers (неопр.). Дата обращения: 7 января 2016.
• Salem, R.. Algebraic numbers and Fourier analysis (неопр.). — Boston, MA: D. C. Heath and Company, 1963. — (Heath mathematical monographs).