Числа Пизо

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Число Пизо[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана[3][4], или PV-число) — любое алгебраическое целое число, большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году[5], изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями[6], но получили известность после публикации диссертации Шарля Пизо[fr] в 1938[7]. Исследования продолжили Тирукканнапурам Виджаярагхаван[en] и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема: это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.

Свойства

Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1 }[/math] таково, что последовательность расстояний [math]\displaystyle{ \|\alpha^n\| }[/math][8] от его степеней до множества целых чисел принадлежит [math]\displaystyle{ l_2 }[/math][прояснить], то [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — число Пизо (и, в частности, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — алгебраическое).

Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения [math]\displaystyle{ x^3-x-1=0 }[/math], известный как пластическое число.[2]

Квадратичные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение многочлен Числовое значение
[math]\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-x-1 }[/math] 1,618034… (золотое сечение)
[math]\displaystyle{ 1+\sqrt{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-2x-1 }[/math] 2,414214… (серебряное сечение)
[math]\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-3x+1 }[/math] 2,618034… A104457
[math]\displaystyle{ 1+\sqrt{3} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-2x-2 }[/math] 2,732051… A090388
[math]\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{13}}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-3x-1 }[/math] 3,302776… A098316 (бронзовое сечение)
[math]\displaystyle{ 2+\sqrt{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-4x+2 }[/math] 3,414214…
[math]\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{17}}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-3x-2 }[/math] 3,561553.. A178255.
[math]\displaystyle{ 2+\sqrt{3} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-4x+1 }[/math] 3,732051… A019973
[math]\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{21}}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-3x-3 }[/math] 3,791288…A090458
[math]\displaystyle{ 2+\sqrt{5} }[/math] [math]\displaystyle{ x^2-4x-1 }[/math] 4,236068… A098317

Примечания

  1. А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
    А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6. — С. 9—13.
  2. 2,0 2,1 Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 97–131.
  4. Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
  5. Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
  6. Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
  7. Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
  8. Здесь [math]\displaystyle{ \|a\| }[/math] обозначает расстояние от [math]\displaystyle{ a }[/math] до [math]\displaystyle{ \Z }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \min(\{a\},1-\{a\}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \{a\} }[/math] — дробная часть числа [math]\displaystyle{ a }[/math].