Узлы Чебышёва

В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва первого рода. Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге.

Определение

Геометрическое построение

Для натурального числа n узлы Чебышёва на отрезке [−1, 1] задаются формулой

[math]\displaystyle{ x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k = 1, \ldots, n. }[/math]

Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени n. Для получения узлов на произвольном отрезке [a, b] можно применить аффинное преобразование отрезков:

[math]\displaystyle{ x_k = \frac{1}{2} (a + b) + \frac{1}{2} (b - a) \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k = 1, \ldots, n. }[/math]