Квадратичное поле

Квадратичное поле — алгебраическое числовое поле степени 2 над [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math]. Можно доказать, что отображение [math]\displaystyle{ d\mapsto \mathbb Q(\sqrt d) }[/math] задаёт биекцию между множеством свободных от квадратов целых чисел и множеством всех попарно неизоморфных квадратичных полей. Если [math]\displaystyle{ d\gt 0, }[/math] квадратичное поле называется действительным, в противном случае — мнимым или комплексным.

Кольцо целых квадратичного поля

Для любого алгебраического числового поля можно рассмотреть его кольцо целых, то есть множество элементов, являющихся корнями приведенных многочленов с целыми коэффициентами. В случае квадратичного поля это корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, все числа такого вида нетрудно описать.

Пусть [math]\displaystyle{ D }[/math] — свободное от квадратов целое число, сравнимое с 2 или 3 по модулю 4. Тогда кольцо целых соответствующего квадратичного поля (обозначаемое [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} }[/math]) — это множество линейных комбинаций вида [math]\displaystyle{ a+b\sqrt D }[/math] (квадратичных иррациональностей), где [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb Z }[/math], с обычными операциями сложения и умножения комплексных чисел. Соответственно, если [math]\displaystyle{ D\equiv 1\pmod{4} }[/math], кольцо целых состоит из чисел вида [math]\displaystyle{ a+b\cdot\tfrac{1 + \sqrt{D}}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb Z }[/math].

Примеры колец целых

Простые числа Эйзенштейна на комплексной плоскости

• Классический пример — кольцо гауссовых целых чисел, соответствующее случаю [math]\displaystyle{ D=-1 }[/math]. Это кольцо было впервые описано Гауссом около 1800 года, для того, чтобы сформулировать биквадратичный закон взаимности.
• Случаю [math]\displaystyle{ D=-3 }[/math] (так как −3 сравнимо с 1 по модулю 4) соответствуют целые числа Эйзенштейна.

Дискриминант

Дискриминант квадратичного поля [math]\displaystyle{ \mathbb Q(\sqrt d) }[/math] равен d, когда d сравнимо с 1 по модулю 4, и 4d в противном случае. Например, дискриминант поля гауссовых рациональных чисел равен −4.

Разложение на простые в кольце целых

Любое кольцо целых является дедекиндовым, поэтому для любого его идеала существует и единственно разложение на простые идеалы. Пусть p — простое число, тогда для главного идеала, порожденного p в [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K }[/math] (K — произвольное квадратичное поле) возможны следующие три случая:

• (p) — простой идеал. Факторкольцо по нему — конечное поле из p² элементов:

[math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p^2} }[/math]

• (p) раскладывается в произведение двух различных простых идеалов.

[math]\displaystyle{ \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb F_{p}\times \mathbb F_{p} }[/math]

• (p) — квадрат простого идеала. Тогда факторкольцо по нему содержит ненулевые нильпотенты.

Третий случай происходит тогда и только тогда, когда p делит дискриминант поля D (например, идеал (2) является квадратом идеала (1+i) в кольце гауссовых целых чисел). Первый и второй случаи происходят когда символ Кронекера [math]\displaystyle{ \left(\tfrac{D}{p}\right) }[/math] равен −1 и 1 соответственно.

Литература

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations (англ.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory (неопр.). — Hermann/Kershaw, 1972.
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory (неопр.). — Chapman and Hall, 1979. — ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.
• Dummit, D. S., Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.